Алгебра · 10 класс · Глава I · § 1

1.5. Размещения

🎟️ Из жизниСемерым друзьям достались два билета на разные фильмы — «на 18:00» и «на 20:00». Сколько есть способов раздать эти два билета? Первый билет можно вручить любому из $7$ друзей, а второй — любому из оставшихся $6$: получаем $7\cdot6=42$ способа. Здесь важен не только состав пары, но и кому какой билет достался — порядок имеет значение. Это и есть размещение.

Определение

📋 РазмещениеЛюбой упорядоченный набор из $k$ элементов, составленный из данных $n$ элементов ($k \le n$). Число размещений из $n$ по $k$ обозначают $A_n^k$ (от франц. arrangement).

Формула размещений

Первый элемент набора можно выбрать $n$ способами, второй — $(n-1)$ способом из оставшихся, третий — $(n-2)$ и так далее, всего $k$ множителей:

$$A_n^k = n(n-1)(n-2)\cdot\ldots\cdot(n-k+1)$$
1
База ($k=1$): один элемент выбирается $n$ способами: $A_n^1=n$.
2
Переход: пусть верно $A_n^i = n(n-1)\cdot\ldots\cdot(n-i+1)$. Присоединяя к каждой из этих групп ещё один элемент из оставшихся $(n-i)$, получаем $A_n^{i+1} = A_n^i\cdot(n-i)$ — что и даёт формулу для $k=i+1$.

Размещение из $n$ элементов по $n$ — это перестановка, поэтому $A_n^n = P_n = n!$.

Попробуй сам

На интерактиве справа задай $n$ (общее число элементов) и $k$ (сколько мест заполняем) — цепочка множителей и итоговое число $A_n^k$ пересчитаются автоматически.

Запомни

🧠 Размещения
  • $A_n^k$ — упорядоченный набор из $k$ элементов среди $n$, порядок важен;
  • $A_n^k = n(n-1)\cdot\ldots\cdot(n-k+1)$ — ровно $k$ убывающих множителей;
  • $A_n^n = P_n = n!$ — размещение по всем элементам это перестановка.
§1 · п.1.4 Перестановки Все темы §1 · п.1.6 Сочетания
Задай n и k — увидишь цепочку множителей A(n,k)
7
2