Каждую группу из $k$ элементов можно упорядочить $P_k=k!$ способами — а размещение это как раз группа с фиксированным порядком. Значит, размещений в $k!$ раз больше, чем сочетаний:
$$A_n^k = P_k \cdot C_n^k \quad\Rightarrow\quad C_n^k = \frac{A_n^k}{k!} = \frac{n(n-1)\cdot\ldots\cdot(n-k+1)}{k!}$$Отсюда также выводится:
$$C_n^k = \frac{n!}{k!\,(n-k)!}, \qquad C_n^k = C_n^{n-k}, \qquad C_n^k + C_n^{k+1} = C_{n+1}^{k+1}$$Все три равенства доказываются алгебраическими преобразованиями через формулу $\tfrac{n!}{k!(n-k)!}$. По определению также считают $C_n^0=1$ — группа из нуля элементов одна, пустая.
На интерактиве справа задай $n$ и $k$ — увидишь, как $A_n^k$ делится на $k!$ и получается $C_n^k$. Сравни с прошлой темой: количество сочетаний всегда меньше или равно количеству размещений при тех же $n$ и $k$ (кроме случая $k=1$, когда они равны).