10 класс · Корни, степени, логарифмы

Доказательство числовых неравенств

⚖️ Из жизниВозьми любые два положительных числа, например $4$ и $9$: их среднее арифметическое $\tfrac{4+9}{2}=6{,}5$, а среднее геометрическое $\sqrt{4\cdot9}=6$. Заметил? Арифметическое оказалось больше. Это не случайность — для любых двух положительных чисел среднее арифметическое никогда не меньше среднего геометрического, и это можно строго доказать.

Опорные свойства неравенств

Доказательство неравенств опирается на свойства порядка действительных чисел и их следствия:

  • из $a\lt b$ и $b\lt c$ следует $a\lt c$ (транзитивность);
  • из $a\lt b$ и $c\lt d$ следует $a+c\lt b+d$ (одноимённые неравенства можно складывать почленно);
  • для положительных $a,b,c,d$: из $a\lt b$ и $c\lt d$ следует $ac\lt bd$ (можно почленно перемножать);
  • из $a\lt b$ следует $a+c\lt b+c$ для любого $c$, а из $a\lt b$ и $c>0$ следует $ac\lt bc$.

Все эти утверждения остаются верны, если строгие неравенства заменить на нестрогие.

Неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом

Докажем: для любых положительных $a$ и $b$ верно $\dfrac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}$.

1
Квадрат любого числа неотрицателен: $(\sqrt a - \sqrt b)^2 \ge 0$.
2
Раскрываем скобки: $a - 2\sqrt{ab} + b \ge 0$.
3
Переносим: $a + b \ge 2\sqrt{ab}$, и делим обе части на $2$: $\dfrac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}$. $\blacksquare$

На интерактиве подвигай ползунки $a$ и $b$ — столбики среднего арифметического и среднего геометрического пересчитаются, а зазор между ними покажет разницу $\tfrac{a+b}{2}-\sqrt{ab}$.

Следствия и другие примеры

Применяя неравенство к числам $x$ и $\tfrac1x$ (при $x>0$), получаем $x+\tfrac1x \ge 2$. Применяя его трижды к парам $a{+}b$, $b{+}c$, $a{+}c$ и перемножая, получаем $(a{+}b)(b{+}c)(a{+}c)\ge8abc$ для положительных $a,b,c$.

Ещё один приём — оценка через выделение неотрицательного слагаемого: например, если $a+b=2$, то $a^4+b^4\ge2$. Обозначив $a=1+c$, $b=1-c$, получаем $a^4+b^4 = 2+12c^2+2c^4 \ge 2$ — сумма всегда неотрицательных слагаемых не может быть меньше $2$.

Запомни

🧠 Доказательство неравенств
  • $\dfrac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}$ для любых положительных $a,b$ — среднее арифметическое не меньше среднего геометрического;
  • равенство достигается только при $a=b$;
  • частый приём доказательства — представить разность частей неравенства как сумму квадратов или явно неотрицательное выражение;
  • одноимённые неравенства с положительными частями можно складывать и перемножать почленно.

Закрепи в практике

Каждый вариант — с новыми числами; разбор после каждого ответа.

Перейти к практике