Алгебра 10 класс: Рациональные выражения

        🧪
        Из жизниСмешали раствор массой $x$ г с концентрацией соли $10\%$ и раствор массой $y$ г с концентрацией $20\%$. Концентрация смеси — не среднее арифметическое, а рациональное выражение $\dfrac{0{,}1x+0{,}2y}{x+y}$: сумма отношений двух многочленов. С такими выражениями — суммами, разностями, произведениями и частными многочленов — и разбираемся в этом пункте.
      

Многочлены и формулы сокращённого умножения

Одночлен — число, буква или произведение чисел и букв; многочлен — сумма нескольких одночленов. Любой одночлен можно считать многочленом. Многочлен называют нулевым, если после приведения подобных членов он превращается в число $0$.

Сумма, разность и произведение двух многочленов — снова многочлены. Если многочлен $C$ представлен в виде $C=A\cdot B$, где $A$ и $B$ — многочлены, говорят, что $C$ разложен на множители $A$ и $B$.

$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2,\qquad (a-b)^2=a^2-2ab+b^2$$ $$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3,\qquad (a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$$ $$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$$ $$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2),\qquad a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$$

Алгебраическая дробь и рациональное выражение

🔑 ОпределениеАлгебраической дробью $\dfrac{A}{B}$ называют частное от деления многочлена $A$ на ненулевой многочлен $B$. Действуют правила: $\tfrac{A}{1}=A$, $-\tfrac{A}{B}=\tfrac{-A}{B}=\tfrac{A}{-B}$, $\tfrac{A}{B}=\tfrac{A\cdot C}{B\cdot C}$ для любого ненулевого $C$.

Правила действий с алгебраическими дробями (знаменатели ненулевые):

$$\frac{A}{B}+\frac{C}{D}=\frac{AD+BC}{BD}, \qquad \frac{A}{B}-\frac{C}{D}=\frac{AD-BC}{BD}$$ $$\frac{A}{B}\cdot\frac{C}{D}=\frac{AC}{BD}, \qquad \frac{A}{B}:\frac{C}{D}=\frac{AD}{BC}$$

📐 ОпределениеРациональным выражением называют выражение, в котором несколько алгебраических дробей соединены знаками арифметических действий, и оно не содержит деления на нулевой многочлен.

Симметрические многочлены

Многочлен от нескольких переменных называют симметрическим, если его вид не меняется при любой перестановке этих переменных: например, $x+y$, $a^2+b^2-1$ — симметрические, а $x-y$, $a^2-b^2$ — нет.

Любой симметрический многочлен от двух переменных $x$ и $y$ можно выразить через $\alpha=x+y$ и $\beta=xy$. В частности:

$$x^2+y^2=\alpha^2-2\beta, \qquad x^3+y^3=\alpha^3-3\alpha\beta$$ $$x^4+y^4=\alpha^4-4\alpha^2\beta+2\beta^2$$

Эти формулы применяют при решении уравнений, неравенств и систем — справа проверь их на конкретных числах.

Пример

1 Пусть $x+y=5$ и $xy=6$. Найдём $x^2+y^2$, не находя сами $x$ и $y$.

2 По формуле $x^2+y^2=\alpha^2-2\beta$, где $\alpha=x+y=5$, $\beta=xy=6$.

3 $x^2+y^2=5^2-2\cdot6=25-12=13$.

4 Проверка: числа $x=2,\ y=3$ дают $x+y=5$, $xy=6$, и правда $2^2+3^2=4+9=13$.

Запомни

🧠 Рациональные выражения

алгебраическая дробь $\tfrac{A}{B}$ — частное двух многочленов, $B\ne0$;
с дробями работают как с обычными: сложение через общий знаменатель, деление — умножением на перевёрнутую дробь;
симметрический многочлен не меняется при перестановке переменных;
$x^2+y^2=\alpha^2-2\beta$, $x^3+y^3=\alpha^3-3\alpha\beta$, где $\alpha=x+y$, $\beta=xy$.

§1 · п.1.10 Задачи с целочисленными неизвестными Все темы §2 · п.2.2 Бином Ньютона, суммы и разности степеней

Перетащи точку — проверь формулу $x^2+y^2=\alpha^2-2\beta$ на любых целых $x,y$