2.2. Формулы бинома Ньютона, суммы и разности степеней
🔺Из жизни$(a+b)^1=a+b$, $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$, $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$ — коэффициенты $1;\ 1,1;\ 1,2,1;\ 1,3,3,1$ складываются в знаменитый треугольник Паскаля: по краям единицы, а каждое число внутри — сумма двух чисел над ним. Он же отвечает на вопрос «сколько есть путей до клетки» на решётке города, если двигаться только вправо и вниз.
где $C_n^k$ — число сочетаний из $n$ по $k$ (те же числа, что в треугольнике Паскаля). Слагаемые называют членами разложения: нулевой член $a^n$, ..., $n$-й член $b^n$; $k$-й член — $C_n^k a^{n-k}b^k$.
Доказательство (по индукции)
1При $n=1$ формула верна: $(a+b)^1=a+b$.
2Пусть верно для $n=k$. Рассмотрим $(a+b)^{k+1}=(a+b)(a+b)^k$.
3Раскрыв скобки и сгруппировав подобные члены $a^{k+1-j}b^j$, суммы коэффициентов вычисляются по свойству $C_k^j+C_k^{j+1}=C_{k+1}^{j+1}$ (правило треугольника Паскаля) — получается разложение для $n=k+1$.
4По принципу математической индукции формула верна для всех натуральных $n$.
Доказывается по индукции: при $n=2$ — известная формула $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$; переход $n=k\to k+1$ использует тождество $a^{k+1}-b^{k+1}=a(a^k-b^k)+b^k(a-b)$.
➕ТеоремаДля любого натурального $n$: $a^{2n+1}+b^{2n+1}=(a+b)(a^{2n}-a^{2n-1}b+\ldots-ab^{2n-1}+b^{2n})$. Множитель $(a+b)$ появляется только у нечётной суммы степеней — многочлен $a^{2n}+b^{2n}$ на $(a+b)$ или $(a-b)$ не раскладывается.
Запомни
🧠Бином и степени
$(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k}b^k$ — коэффициенты берутся из треугольника Паскаля;
$a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+\ldots+b^{n-1})$ — раскладывается при любом $n\ge2$;
$a^{2n+1}+b^{2n+1}$ делится на $(a+b)$, а $a^{2n}+b^{2n}$ — нет.