10 класс · Корни, степени, логарифмы
2.4*. Теорема Безу
Из жизниХочешь узнать остаток от деления многочлена на $(x-a)$ — вовсе не обязательно делить его целиком уголком. Достаточно просто подставить $x=a$ в сам многочлен. Это и есть теорема Безу — один из самых экономных фактов алгебры.
Формулировка
Пусть $P_n(x)=a_nx^n+\ldots+a_1x+a_0$ ($a_n\ne0$) — многочлен степени $n\ge1$. При делении $P_n(x)$ на двучлен $(x-a)$ частное $Q_{n-1}(x)$ имеет степень $n-1$, а остаток $R$ — просто число:
$$P_n(x) = (x-a)Q_{n-1}(x) + R$$
Теорема БезуОстаток $R$ от деления $P_n(x)$ на $(x-a)$ равен значению многочлена при $x=a$: $R=P_n(a)$.
Доказательство
1
По определению деления с остатком: $P_n(x)=(x-a)Q_{n-1}(x)+R$.
2
Подставим $x=a$ в это равенство: $P_n(a)=(a-a)Q_{n-1}(a)+R = 0\cdot Q_{n-1}(a)+R$.
3
Значит $P_n(a)=R$ — что и требовалось. $\blacksquare$
Следствие и схема Горнера
СледствиеЧтобы $P_n(x)$ делился на $(x-a)$ нацело, необходимо и достаточно, чтобы $P_n(a)=0$.
Деление на двучлен удобно выполнять схемой Горнера: коэффициент при старшем члене частного равен коэффициенту при старшем члене делимого, а каждый следующий коэффициент частного получают умножением $a$ на предыдущий результат и прибавлением соответствующего коэффициента делимого; последнее число в таблице — остаток $R$.
Запомни
Теорема Безу
- остаток от деления $P_n(x)$ на $(x-a)$ равен $P_n(a)$ — можно не делить, а просто подставить;
- $P_n(x)$ делится на $(x-a)$ нацело $\iff$ $P_n(a)=0$;
- схема Горнера считает и частное, и остаток за один проход по коэффициентам.