🔍Из жизниВместо того чтобы перебирать все числа подряд в поисках корня многочлена, теория подсказывает узкий список кандидатов — как в детективе, где подозреваемых сужают по уликам до нескольких имён вместо всего города.
Корень многочлена
🔑ОпределениеЧисло $a$ называют корнем многочлена $P_n(x)$, если $P_n(a)=0$, то есть если $P_n(x)$ делится нацело на $(x-a)$. Многочлен степени $n\ge1$ может иметь не более $n$ действительных корней.
Теорема о рациональных корнях
Пусть все коэффициенты $a_0,a_1,\ldots,a_n$ ($a_n\ne0$) многочлена $P_n(x)=a_nx^n+\ldots+a_0$ — целые числа, и несократимая дробь $\tfrac{p}{q}$ ($p\in\mathbb{Z}$, $q\in\mathbb{N}$) является его корнем. Тогда:
$$a_0 \text{ делится на } p, \qquad a_n \text{ делится на } q$$
✅СледствиеЕсли $a_n=1$ (многочлен с целыми коэффициентами и старшим коэффициентом $1$), рациональные корни — только целые числа, делители свободного члена $a_0$.
Пример
Для $P_3(x)=6x^3+7x^2-9x+2$: возможные рациональные корни — делители $2$, делённые на делители $6$: $\pm1,\pm2,\pm\tfrac12,\pm\tfrac13,\pm\tfrac23,\pm\tfrac16$. Проверка справа перебором кандидатов находит корень $x=-2$. Дальнейшее разложение: $P_3(x)=(x+2)(6x^2-5x+1)=(x+2)(x-\tfrac12)(x-\tfrac13)$.
Ответ: $-2;\ \tfrac12;\ \tfrac13$.
Запомни
🧠Корень многочлена
$a$ — корень $P_n(x)$, если $P_n(a)=0$; корней не больше степени многочлена;