Определение. Числа $1, 2, 3, 4, 5, 6, \dots$ называют натуральными,
или целыми положительными числами. Нуль не считают натуральным числом.
Сумма и произведение натуральных чисел всегда являются натуральными числами.
Например, $3 + 5 = 8$, $\ 3 \cdot 5 = 15$.
💡 Из жизни: представь, что складываешь в коробку яблоки — сколько бы
ты ни добавлял и ни группировал, итог всегда целое число яблок, никогда не «половинка».
Так же ведут себя натуральные числа при сложении и умножении — результат никогда не
«выпадает» из этого же множества.
А вот с разностью так не получится всегда. Разность натуральных чисел является
натуральным числом только в том случае, если уменьшаемое больше вычитаемого.
Например, $8 - 5 = 3$ — тут всё в порядке. Но если уменьшаемое меньше вычитаемого
или равно ему, разность натуральным числом уже не будет.
⚠️ Частая ошибка: ученики иногда считают, что раз $8 - 5$ и $5 - 8$ —
это «одно и то же действие», то оба результата — натуральные числа. Это не так:
$5 - 8$ не является натуральным числом, потому что уменьшаемое ($5$) меньше
вычитаемого ($8$). Всегда сначала сравнивай уменьшаемое и вычитаемое.
Делимость натуральных чисел
Частное двух натуральных чисел тоже не всегда является натуральным числом. Если при
делении одного натурального числа на другое в частном получается натуральное число,
говорят, что первое число делится на второе нацело,
а второе число называют делителем первого.
Определение. Число $a$ делится на число $b$ нацело, если частное
$a : b$ — натуральное число. Тогда $b$ называют делителем числа $a$.
Например, $6$ делится на $3$ нацело — значит, $3$ — делитель числа $6$. А число $7$
на $3$ нацело не делится. Слово «нацело» обычно опускают: говорят просто «$6$ делится
на $3$», «$7$ не делится на $3$».
Каждое натуральное число $p$ делится на $1$ и само на себя:
$$p : 1 = p, \qquad p : p = 1.$$
💡 Свойство делимости. Если $m$, $n$
и $k$ — натуральные числа, причём $m$ делится
на $n$, а $n$ делится на $k$, то
$m$ делится на $k$.
Разберём это на примере из учебника — с числами $510$, $51$ и $17$:
1
$510$ делится на $51$, потому что $510 : 51 = 10$ — натуральное число.
2
$51$ делится на $17$, потому что $51 : 17 = 3$ — натуральное число.
3
По свойству делимости $510$ делится на $17$. Проверим: $510 : 17 = 30$ —
действительно натуральное число.
Признаки делимости
Чтобы проверить, делится ли число нацело, не обязательно выполнять само деление —
достаточно взглянуть на его запись. Такие правила называют признаками делимости
(их ты уже встречал в 5–6 классе — здесь стоит освежить их в памяти, они постоянно
нужны при работе с натуральными числами).
🧠 Вспомни признаки делимости:
на 2 — если последняя цифра числа
чётная: $0, 2, 4, 6$ или $8$;
на 5 — если последняя цифра числа
$0$ или $5$;
на 10 — если последняя цифра
числа $0$;
на 3 — если сумма цифр числа
делится на $3$;
на 9 — если сумма цифр числа
делится на $9$.
Наведи курсор на любую цифру-делитель выше или переключай вкладки справа — числа,
которые ей кратны, подсветятся в таблице от $1$ до $60$.
🧠 Запомни:
сумма и произведение натуральных чисел — всегда натуральное число;
разность — натуральное число, только если уменьшаемое больше вычитаемого;
если $m$ делится на $n$, а $n$ делится на $k$, то $m$ делится на $k$;