7 класс · Действительные числа

Натуральные числа и действия с ними

Натуральные числа

Определение. Числа $1, 2, 3, 4, 5, 6, \dots$ называют натуральными, или целыми положительными числами. Нуль не считают натуральным числом.

Сумма и произведение натуральных чисел всегда являются натуральными числами. Например, $3 + 5 = 8$, $\ 3 \cdot 5 = 15$.

          💡 Из жизни: представь, что складываешь в коробку яблоки — сколько бы
          ты ни добавлял и ни группировал, итог всегда целое число яблок, никогда не «половинка».
          Так же ведут себя натуральные числа при сложении и умножении — результат никогда не
          «выпадает» из этого же множества.
        

А вот с разностью так не получится всегда. Разность натуральных чисел является натуральным числом только в том случае, если уменьшаемое больше вычитаемого. Например, $8 - 5 = 3$ — тут всё в порядке. Но если уменьшаемое меньше вычитаемого или равно ему, разность натуральным числом уже не будет.

⚠️ Частая ошибка: ученики иногда считают, что раз $8 - 5$ и $5 - 8$ — это «одно и то же действие», то оба результата — натуральные числа. Это не так: $5 - 8$ не является натуральным числом, потому что уменьшаемое ($5$) меньше вычитаемого ($8$). Всегда сначала сравнивай уменьшаемое и вычитаемое.

Делимость натуральных чисел

Частное двух натуральных чисел тоже не всегда является натуральным числом. Если при делении одного натурального числа на другое в частном получается натуральное число, говорят, что первое число делится на второе нацело, а второе число называют делителем первого.

Определение. Число $a$ делится на число $b$ нацело, если частное $a : b$ — натуральное число. Тогда $b$ называют делителем числа $a$.

Например, $6$ делится на $3$ нацело — значит, $3$ — делитель числа $6$. А число $7$ на $3$ нацело не делится. Слово «нацело» обычно опускают: говорят просто «$6$ делится на $3$», «$7$ не делится на $3$».

Каждое натуральное число $p$ делится на $1$ и само на себя:

$$p : 1 = p, \qquad p : p = 1.$$

          💡 Свойство делимости. Если $m$, $n$
          и $k$ — натуральные числа, причём $m$ делится
          на $n$, а $n$ делится на $k$, то
          $m$ делится на $k$.
        

Разберём это на примере с числами $510$, $51$ и $17$:

$510$ делится на $51$, потому что $510 : 51 = 10$ — натуральное число.

$51$ делится на $17$, потому что $51 : 17 = 3$ — натуральное число.

По свойству делимости $510$ делится на $17$. Проверим: $510 : 17 = 30$ — действительно натуральное число.

Признаки делимости

Чтобы проверить, делится ли число нацело, не обязательно выполнять само деление — достаточно взглянуть на его запись. Такие правила называют признаками делимости (их ты уже встречал в 5–6 классе — здесь стоит освежить их в памяти, они постоянно нужны при работе с натуральными числами).

🧠 Вспомни признаки делимости:

на 2 — если последняя цифра числа чётная: $0, 2, 4, 6$ или $8$;
на 5 — если последняя цифра числа $0$ или $5$;
на 10 — если последняя цифра числа $0$;
на 3 — если сумма цифр числа делится на $3$;
на 9 — если сумма цифр числа делится на $9$.

Наведи курсор на любую цифру-делитель выше или переключай вкладки — числа, которые ей кратны, подсветятся в таблице от $1$ до $60$.

🧠 Запомни:

сумма и произведение натуральных чисел — всегда натуральное число;
разность — натуральное число, только если уменьшаемое больше вычитаемого;
если $m$ делится на $n$, а $n$ делится на $k$, то $m$ делится на $k$;
каждое число делится на $1$ и на само себя.

Закрепи в практике

Каждый вариант — с новыми числами; разбор после каждого ответа.

Перейти к практике