7 класс · Действительные числа
Степень числа
💡 Из жизни: представь, что бактерия делится каждый час пополам на две
новые. Через $k$ часов бактерий станет $\underbrace{2 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot 2}_{k}$ —
каждый раз выписывать такое длинное произведение неудобно, поэтому для него придумали
короткую запись.
Определение
Определение. $k$-й степенью числа $p$ называют произведение $k$
множителей, каждый из которых равен $p$: $p^k = p \cdot p \cdot \ldots \cdot p$
($k$ множителей, $k > 1$). Число $p$
называют основанием степени, а число $k$
— показателем степени.
Число $p$ в первой степени понимают как само это число: $p^1 = p$, например, $5^1 = 5$.
Свойства степеней
Все три свойства ниже — прямое следствие определения степени как произведения одинаковых множителей.
1
Свойство 1.
Произведение степеней с одним и тем же показателем равно степени с тем же показателем
и основанием, равным произведению оснований:
$$p^n \cdot q^n = (p \cdot q)^n$$
Например: $2^2 \cdot 3^2 = 2\cdot2\cdot3\cdot3 = (2\cdot3)\cdot(2\cdot3) = (2\cdot3)^2$.
2
Свойство 2.
Произведение степеней с одним и тем же основанием есть степень с тем же основанием
и показателем, равным сумме показателей:
$$p^n \cdot p^m = p^{n+m}$$
Например: $3^2 \cdot 3^4 = (3\cdot3)\cdot(3\cdot3\cdot3\cdot3) = 3^6 = 3^{2+4}$.
3
Свойство 3.
Степень степени числа равна степени того же числа с показателем, равным произведению
показателей:
$$(p^m)^n = p^{m \cdot n}$$
Например: $(7^3)^2 = 7^3 \cdot 7^3 = 7^6 = 7^{3\cdot2}$.
Пример: применяем свойства
1
Вычислим $2^5 \cdot 2^3 \cdot 2$ — основание одинаковое, значит по свойству 2
показатели складываются:
$$2^5 \cdot 2^3 \cdot 2^1 = 2^{5+3+1} = 2^9 = 512$$
2
Запишем $(5^3)^4$ в виде одной степени — это степень степени, по свойству 3
показатели перемножаются:
$$(5^3)^4 = 5^{3\cdot4} = 5^{12}$$
⚠️ Частая ошибка: при умножении степеней с одинаковым основанием
показатели складывают ($p^n \cdot p^m = p^{n+m}$), а при возведении степени в
степень показатели перемножают ($(p^m)^n = p^{mn}$). Ученики часто путают эти
два случая местами — например, считают $2^3 \cdot 2^2 = 2^6$ (неверно, показатели
нужно сложить: $2^{3+2}=2^5$), а не наоборот, показатели умножить.
🧠 Запомни:
- $p^k = p\cdot p \cdot \ldots \cdot p$ ($k$ множителей, $k>1$); $p^1 = p$
- $p^n \cdot q^n = (pq)^n$ — общий показатель, разные основания
- $p^n \cdot p^m = p^{n+m}$ — общее основание, показатели складываются
- $(p^m)^n = p^{mn}$ — степень степени, показатели перемножаются