Степень числа — Алгебра 7 класс

Глава I · §1 · п.1.2

        💡 Из жизни: представь, что бактерия делится каждый час пополам на две
        новые. Через $k$ часов бактерий станет $\underbrace{2 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot 2}_{k}$ —
        каждый раз выписывать такое длинное произведение неудобно, поэтому для него придумали
        короткую запись.
      

Определение

Определение. $k$-й степенью числа $p$ называют произведение $k$ множителей, каждый из которых равен $p$: $p^k = p \cdot p \cdot \ldots \cdot p$ ($k$ множителей, $k > 1$). Число $p$ называют основанием степени, а число $k$ — показателем степени.

Число $p$ в первой степени понимают как само это число: $p^1 = p$, например, $5^1 = 5$.

Свойства степеней

Все три свойства ниже — прямое следствие определения степени как произведения одинаковых множителей.

Свойство 1. Произведение степеней с одним и тем же показателем равно степени с тем же показателем и основанием, равным произведению оснований: $$p^n \cdot q^n = (p \cdot q)^n$$ Например: $2^2 \cdot 3^2 = 2\cdot2\cdot3\cdot3 = (2\cdot3)\cdot(2\cdot3) = (2\cdot3)^2$.

Свойство 2. Произведение степеней с одним и тем же основанием есть степень с тем же основанием и показателем, равным сумме показателей: $$p^n \cdot p^m = p^{n+m}$$ Например: $3^2 \cdot 3^4 = (3\cdot3)\cdot(3\cdot3\cdot3\cdot3) = 3^6 = 3^{2+4}$.

Свойство 3. Степень степени числа равна степени того же числа с показателем, равным произведению показателей: $$(p^m)^n = p^{m \cdot n}$$ Например: $(7^3)^2 = 7^3 \cdot 7^3 = 7^6 = 7^{3\cdot2}$.

Пример: применяем свойства

Вычислим $2^5 \cdot 2^3 \cdot 2$ — основание одинаковое, значит по свойству 2 показатели складываются: $$2^5 \cdot 2^3 \cdot 2^1 = 2^{5+3+1} = 2^9 = 512$$

Запишем $(5^3)^4$ в виде одной степени — это степень степени, по свойству 3 показатели перемножаются: $$(5^3)^4 = 5^{3\cdot4} = 5^{12}$$

⚠️ Частая ошибка: при умножении степеней с одинаковым основанием показатели складывают ($p^n \cdot p^m = p^{n+m}$), а при возведении степени в степень показатели перемножают ($(p^m)^n = p^{mn}$). Ученики часто путают эти два случая местами — например, считают $2^3 \cdot 2^2 = 2^6$ (неверно, показатели нужно сложить: $2^{3+2}=2^5$), а не наоборот, показатели умножить.

🧠 Запомни:

$p^k = p\cdot p \cdot \ldots \cdot p$ ($k$ множителей, $k>1$); $p^1 = p$
$p^n \cdot q^n = (pq)^n$ — общий показатель, разные основания
$p^n \cdot p^m = p^{n+m}$ — общее основание, показатели складываются
$(p^m)^n = p^{mn}$ — степень степени, показатели перемножаются

← Глава 1 · §1 · п.1 Натуральные числа и действия с ними Все темы Глава 1 · §1 · п.3 → Простые и составные числа

Собираем степень как произведение одинаковых множителей