🔑ИдеяИногда в задаче нужно решить уравнение не все корни, а только те, что удовлетворяют дополнительному условию — например, лежат на конкретном отрезке. Такое условие — тоже своего рода множество $M$: иногда оно облегчает решение, иногда просто фильтрует уже найденные корни.
Левая часть всегда неотрицательна, значит $2x-1\ge0$. Вместе с условием задачи корни лежат в $M=\left[\tfrac12;\ \tfrac{\sqrt3}{3}\right)$. На этом множестве трёхчлен $x^2+x-1$ отрицателен, поэтому модуль раскрывается однозначно: $-(x^2+x-1)=2x-1$.
Корни: $x_{1,2}=\dfrac{-3\mp\sqrt{17}}{2}$. Только $x_2=\dfrac{-3+\sqrt{17}}{2}$ входит в $M$. Ответ: $\dfrac{-3+\sqrt{17}}{2}$.
Пример 2 — условие лишь фильтрует
Найдём корни $4^{\cos2x}+4^{\cos^2x}=3$ на отрезке $\left[-\tfrac{7\pi}{6};\,-\tfrac{2\pi}{3}\right]$.
Здесь дополнительное условие не облегчает решение уравнения — сначала находят все решения: $x_k=\tfrac{\pi}{4}+\tfrac{\pi}{2}k$, $k\in\mathbb{Z}$, а уже потом отбирают те, что попадают в заданный отрезок.
Единственное подходящее целое $k=-2$ даёт $x_{-2}=-\tfrac{3\pi}{4}$. Ответ: $-\tfrac{3\pi}{4}$.
⚠️Частая ошибкаПытаются сразу "встроить" дополнительное условие в уравнение и упростить его — хотя чаще проще и надёжнее сначала полностью решить уравнение обычным способом, а условие применить в самом конце как фильтр к готовому списку корней.
Запомни
🧠Дополнительные условия
условие может облегчить решение (раскрыть модуль однозначно) — используем его сразу;
условие может быть просто фильтром — тогда решаем уравнение целиком, затем отбираем;
в обоих случаях итоговый ответ — пересечение множества корней и заданного условия.