11 класс · Уравнения. Неравенства. Системы
Основные понятия
ИдеяДля неравенств работает та же логика, что и для уравнений: два неравенства могут быть не равносильны на всей прямой, но стать равносильными, если ограничиться множеством $M$. Внутри $M$ множества решений совпадают, а что происходит вне $M$ — неважно.
ОпределениеНеравенства $f(x)>g(x)$ и $p(x)>\varphi(x)$ называют равносильными на множестве $M$, если любое решение первого, принадлежащее $M$, — решение второго, и наоборот. Если ни одно из неравенств не имеет решений на $M$, они тоже считаются равносильными на $M$.
Если неравенства равносильны на множестве всех действительных чисел, слова "на множестве всех действительных чисел" обычно опускают.
Примеры
Неравенства $\sqrt{x}>1$ и $x^2>1$ не равносильны на всей прямой: решение первого — $(1;+\infty)$, второго — $(-\infty;-1)\cup(1;+\infty)$.
Но на множестве $M=(0;+\infty)$ они равносильны. А неравенства $x>1$ и $x^3>1$ равносильны сразу на всей прямой — кубическая функция строго возрастает, порядок чисел не нарушается.
Основные преобразования, дающие равносильность на множестве
1
Возведение в чётную степень $2m$: $f(x)>g(x) \to (f(x))^{2m}>(g(x))^{2m}$ — равносильно на $M$, где $f,g\ge0$.
2
Умножение на $\varphi(x)$: $f(x)>g(x)\to f(x)\varphi(x)>g(x)\varphi(x)$ — равносильно на $M$, где $\varphi(x)>0$.
3
Потенцирование $\log_af(x)>\log_ag(x)$: при $a>1$ переходит в $f>g$, при $0\lt a<1$ — в $f\lt g$; равносильно на $M$, где $f,g>0$.
4
Приведение подобных членов — равносильно на области существования сокращаемой функции.
Частая ошибкаПереносят правило "умножение на функцию — равносильно, если $\varphi\ne0$" из уравнений на неравенства без изменений. Но для неравенств требуется больше — функция должна быть положительна (не просто отлична от нуля!), иначе при $\varphi(x)<0$ знак неравенства должен поменяться на противоположный.
Запомни
Равносильность неравенств на множестве
- сравниваем множества решений не на всей прямой, а только внутри $M$;
- для умножения на $\varphi(x)$ в неравенствах нужно $\varphi(x)>0$ (строже, чем для уравнений);
- для потенцирования логарифма знак неравенства зависит от того, $a>1$ или $0\lt a<1$.