🔑
ИдеяНепрерывная функция не может "перепрыгнуть" через ноль, не коснувшись его — как турист, идущий по мосту, не может оказаться на другом берегу реки, не пройдя саму точку моста над водой. Значит, между двумя соседними нулями функции (и границами области определения) знак $f(x)$ всегда постоянен — достаточно проверить его в одной пробной точке каждого куска.
📐
Алгоритм1) Найти область определения $M$ функции $f(x)$ и её нули. 2) Отметить на прямой все нули и точки, где $M$ обрывается. 3) На каждом получившемся интервале выбрать пробную точку и определить знак $f(x)$ там — это и есть знак на всём интервале. 4) Ответ неравенства $f(x)\gt0$ — объединение интервалов со знаком «+» (для $f(x)\lt0$ — со знаком «−»).
Пример из учебника
Решим неравенство $$2^{\sqrt{x^2-1}}\cdot(4-x)\cdot\log_3(3+x) \gt 0.$$
1
Область определения: $x^2-1\ge0$ и $3+x\gt0$, то есть $M=(-3;-1]\cup[1;+\infty)$.
2
Нули функции: $x=4$ (из множителя $4-x$) и $x=-2$ (из множителя $\log_3(3+x)$, который равен нулю при $3+x=1$).
3
Промежутки: $(-3;-2)$, $(-2;-1]$, $[1;4)$, $(4;+\infty)$. Пробные точки дают знаки: $-$, $+$, $+$, $-$.
4
Собираем интервалы со знаком «+», не забывая включить сами нули $x=-1$ и $x=1$ (они входят в $M$ и удовлетворяют неравенству).
Ответ: $(-2;\,-1]\cup[1;\,4)$.
⚠️
Частая ошибкаЗабыть, что метод интервалов работает только там, где функция непрерывна. На границе области определения (например, при переходе через точку, где функция не определена) знак может смениться без нуля — такую точку тоже обязательно отмечают на оси, наравне с нулями.