🔑
ИдеяМетод промежутков для неравенств устроен так же, как для уравнений: находим критические точки модулей, разбиваем ось, на каждом куске раскрываем модули однозначно и решаем "чистое" неравенство без модулей — только теперь на каждом промежутке нужно оставить не отдельные точки, а целые куски, входящие в этот промежуток.
Пример из учебника
Решим неравенство $$|x^2-4|+|x+1|-3 \gt 0.$$
1
Критические точки: $x=-2$, $x=-1$, $x=2$ — четыре промежутка.
2
На $(-\infty;-2]$: $x^2-4-x-1-3\gt0$, решения $x\lt\tfrac{1-\sqrt{33}}{2}\approx-2{,}37$.
3
На $(-2;-1)$: получившееся квадратное неравенство решений на этом промежутке не даёт.
4
На $[-1;2)$: неравенство сводится к $-x^2+x+2\gt0$, решения — весь промежуток $(-1;2)$.
5
На $[2;+\infty)$: неравенство $x^2+x-6\gt0$ даёт $x\gt2$.
Ответ: $\left(-\infty;\,\tfrac{1-\sqrt{33}}{2}\right)\cup(-1;2)\cup(2;+\infty)$.
⚠️
Частая ошибкаНайдя решение квадратного неравенства на одном из промежутков, забыть пересечь его с самим промежутком. Например, решения "чистого" неравенства на шаге 2 — интервал, уходящий за $-2$; в ответ идёт только та часть, что лежит в $(-\infty;-2]$.