🔑ИдеяСумма нескольких неотрицательных слагаемых равна нулю только тогда, когда каждое слагаемое равно нулю — как если несколько человек тянут канат в одну сторону, суммарная сила равна нулю только если каждый из них вообще не тянет. Это превращает одно сложное уравнение в систему из более простых.
📐УтверждениеПусть $F(x)=f_1(x)+\ldots+f_n(x)$, где каждая $f_i(x)\ge0$ на своей области существования. Тогда: а) $F(x)=0 \Leftrightarrow \{f_1(x)=0,\ \ldots,\ f_n(x)=0\}$; б) $F(x)\le0$ равносильно той же системе — ведь сумма неотрицательных чисел не может быть отрицательной, только нулём.
1Оба слагаемых неотрицательны (корень и квадрат логарифма), значит неравенство равносильно системе: $x^2-7x+12=0$ и $\lg^2(x^2-4x+1)=0$.
2Первое уравнение даёт корни $x_1=3$ и $x_2=4$.
3Проверяем оба во втором уравнении: только $x_2=4$ обращает его в верное равенство.
Ответ: $4$.
⚠️Частая ошибкаЗабыть проверить корни первого уравнения во втором. Метод даёт не готовый ответ, а систему — окончательный ответ это пересечение решений всех уравнений системы, а не решения одного из них.
Запомни
🧠Использование неотрицательности функций
сумма неотрицательных слагаемых равна нулю, только если каждое слагаемое равно нулю;
это превращает уравнение (или нестрогое $\le0$) в систему более простых уравнений;
решают каждое уравнение системы и берут только общие корни;