11 класс · Уравнения. Неравенства. Системы

13.3*. Использование ограниченности функций

🔑 ИдеяПредставь, что $f(x)$ — шар, который никогда не опускается ниже потолка $A$, а $g(x)$ — шар, который никогда не поднимается выше того же потолка. Уравнение $f(x)=g(x)$ означает, что оба шара встретились. Но встретиться они могут только ровно на потолке — там, где $f(x)=A$ и одновременно $g(x)=A$. Больше нигде касание невозможно.
📐 Теорема (метод оценки)Пусть $M$ — общая часть областей существования функций $f(x)$ и $g(x)$, и пусть для любого $x \in M$ выполняются неравенства $f(x) \ge A$ и $g(x) \le A$ (число $A$ — одно и то же в обеих оценках). Тогда:

а) уравнение $f(x)=g(x)$ равносильно системе уравнений

$$f(x)=A,\qquad g(x)=A$$

б) неравенство $f(x) \le g(x)$ равносильно той же самой системе (а).

Пример — нет решений

Решим уравнение $4x^2+4x+17=\dfrac{12}{(4/3)^{x^2-x+1/4}}$, приведённое к виду

$$\Big(x+\tfrac12\Big)^2+4=\dfrac{4}{(4/3)^{(x-1/2)^2+1}}$$

Слева $f(x)=(x+\tfrac12)^2+4 \ge 4$ (минимум в вершине параболы), справа $g(x)=\dfrac{4}{(4/3)^{(x-1/2)^2+1}} \le 4$ (знаменатель степени $\ge (4/3)^1$). Значит, уравнение равносильно системе $f(x)=4,\ g(x)=4$ — а она решений не имеет.

Ответ. Нет решений.

Пример — есть решение

Решим уравнение $2^x+2^{-x}=2\cos\dfrac{x^2+x}{6}$. По неравенству $a+\dfrac1a \ge 2$ (для $a>0$) слева $f(x)=2^x+2^{-x} \ge 2$, справа $g(x)=2\cos\dfrac{x^2+x}{6} \le 2$. Уравнение равносильно системе

$$2^x+2^{-x}=2,\qquad \cos\dfrac{x^2+x}{6}=1$$

Первое уравнение даёт единственный корень $x=0$ — он же удовлетворяет второму.

Ответ. $x=0$.

⚠️ Частая ошибкаНайдя корни только одного уравнения системы, ученики иногда сразу записывают их в ответ. Но система (1) — это два уравнения одновременно: в ответ идут только те $x$, которые удовлетворяют обоим. Например, в задаче с $\cos^2(x\sin x)=1+|\lg_5(x^2-x+1)|$ второе уравнение системы даёт корни $x=0$ и $x=1$, но только $x=0$ подходит первому — значит, ответ один $x=0$, а не два корня.

Запомни

🧠 Метод оценки
  • ищи для обеих частей уравнения одну и ту же оценку: $f(x)\ge A$ и $g(x)\le A$;
  • если оценки нашлись — уравнение $f(x)=g(x)$ равносильно системе $f(x)=A,\ g(x)=A$;
  • та же система работает и для неравенства $f(x)\le g(x)$;
  • в ответ идут только корни, общие для обоих уравнений системы;
  • частый источник оценок — неравенство $a+\dfrac1a\ge2$ при $a>0$ и ограниченность $|\sin|,|\cos|\le1$.

Закрепи в практике

Каждый вариант — с новыми числами; разбор после каждого ответа.

Перейти к практике