11 класс · Уравнения. Неравенства. Системы

14.4*. Рассуждения с числовыми значениями

🔑 ИдеяЕсли сумма двух чисел, каждое из которых не меньше нуля, равна нулю — оба слагаемых обязаны быть нулём одновременно. Один "гиря" не может стать отрицательной, чтобы уравновесить другую: единственный способ получить сумму $0$ из двух неотрицательных слагаемых — обе положить на ноль.
📐 ПриёмПредположив, что $(x_0;y_0)$ — решение системы, подставляем эти числа в уравнения и, используя алгебраические тождества и неравенства (полный квадрат, ограниченность и т. п.), доказываем, что $x_0,y_0$ могут быть только конкретными числами. После этого — обязательная проверка найденных кандидатов в исходной системе.

Пример

Решим систему $x^2y^2-2x+y^2=0,\ 2x^2-4x+3+y^3=0$. Из первого уравнения $y^2=\dfrac{2x}{1+x^2}$, а так как $(1-x)^2\ge0$, то $\dfrac{2x}{1+x^2}\le1$, откуда $|y|\le1$.

Второе уравнение перепишем как $2(x-1)^2+(1+y^3)=0$. При $|y|\le1$ второе слагаемое $1+y^3\ge0$. Сумма двух неотрицательных чисел равна $0$ только если оба равны $0$:

$$2(x-1)^2=0,\qquad 1+y^3=0 \;\Rightarrow\; x=1,\ y=-1$$

Проверка подтверждает: $(1;-1)$ — решение. Ответ. $(1;-1)$.

Сужение через систему неравенств

В системе $y+z=(3-x)^3,\ (2z-y)(y+2)=9+4y,\ x^2+(\sqrt{z})^4=4x$ третье уравнение даёт $(x-2)^2=4-z^2\ge0$, значит $z^2\le4$ и $z\ge0$. Второе даёт $(y-z+3)^2=z^2-2z\ge0$. Совместное решение неравенств $0\le z\le2$ и ($z\le0$ или $z\ge2$) оставляет только два числа: $z=0$ и $z=2$ — дальше подставляем и проверяем.

Так рассуждения с числовыми значениями превращают бесконечное множество вариантов в 2-3 кандидата, которые остаётся только подставить и проверить.

⚠️ Частая ошибкаНайдя, что сумма неотрицательных слагаемых равна нулю, ученики иногда забывают, что это даёт систему из всех слагаемых сразу (каждое $=0$), а не одно уравнение "на выбор". И, как всегда с рассуждением "от предположения", финальная проверка кандидата в исходной системе — обязательна, а не формальность.

Запомни

🧠 Рассуждения с числовыми значениями
  • предполагаем $(x_0;y_0)$ — решение и выводим про него числовые неравенства;
  • сумма неотрицательных слагаемых $=0$ $\Rightarrow$ каждое слагаемое $=0$;
  • полный квадрат $(a-b)^2\ge0$ — источник большинства таких оценок;
  • рассуждение сужает бесконечное множество вариантов до нескольких кандидатов;
  • кандидатов обязательно проверяем подстановкой в исходную систему.