11 класс · Уравнения. Неравенства. Системы

Метод замены неизвестных

🔑 ИдеяГромоздкая система с корнями и логарифмами часто прячет внутри себя простую систему — нужно только дать сложным выражениям новые имена $u,\,v$. Решаем простую систему в $u,v$, а затем возвращаемся к $x,y$ через определение замены — как переводчик, который сначала упрощает фразу на понятном языке, а потом переводит ответ обратно.
📐 УтверждениеПусть система $f(\alpha(x;y),\beta(x;y))=0,\ g(\alpha(x;y),\beta(x;y))=0$ после замены $u=\alpha(x;y),\ v=\beta(x;y)$ превращается в систему $f(u;v)=0,\ g(u;v)=0$ с решениями $(u_1;v_1),\dots,(u_k;v_k)$. Тогда решения исходной системы — объединение решений $k$ систем $\alpha(x;y)=u_i,\ \beta(x;y)=v_i$.

Пример

Решим систему $3\sqrt[4]{x+y}=\log_39x,\ 2\sqrt[4]{x+y}=\log_3\dfrac{27}{x}$. Замена $u=\sqrt[4]{x+y},\ v=\log_3x$ (с учётом $\log_39x=2+v,\ \log_3\tfrac{27}{x}=3-v$) даёт линейную систему

$$3u=2+v,\qquad 2u=3-v$$

Единственное решение $u=1,\,v=1$. Возвращаемся: $\log_3x=1,\ \sqrt[4]{x+y}=1$, откуда $(x;y)=(3;-2)$. Ответ. $(3;-2)$.

Ветвление после замены

После замены новая переменная может дать несколько уравнений вида $\alpha(x;y)=u_i$ — тогда систему решают отдельно для каждого $u_i$. В системе $4\sin y-6\sqrt2\cos x=5+4\cos^2y,\ \cos2x=0$ замена $u=\cos x,\ v=\sin y$ даёт $u=\pm\tfrac1{\sqrt2}$, а для каждого $u$ — квадратное уравнение на $v$.

Из 4 найденных пар $(u;v)$ только одна имеет $v\in[-1;1]$ — только она годится, ведь $v=\sin y$ не может выйти за границы $[-1;1]$. Остальные три отбрасываются без всякого вычисления $x$ и $y$ — сразу видно, что уравнение $\sin y=3/2$ не имеет решений.

⚠️ Частая ошибкаВведя замену $u=\sin y$ или $u=\cos x$, легко забыть, что у новой переменной есть собственная область значений — не любое число $u$ годится. Не проверив $|u|\le1$ сразу после решения уравнения на $u$, рискуешь потратить время на "решение" системы $\cos x=2$, у которой корней нет в принципе.

Запомни

🧠 Метод замены неизвестных
  • вводим $u=\alpha(x;y),\ v=\beta(x;y)$ так, чтобы новая система стала проще (часто — линейной);
  • решаем систему в $u,v$ — получаем одну или несколько пар $(u_i;v_i)$;
  • для каждой пары возвращаемся к $x,y$ через определение замены и решаем;
  • сразу отбрасываем пары, где $u_i$ или $v_i$ вне области значений (например, $|\sin|,|\cos|\le1$) — экономит время.

Закрепи в практике

Каждый вариант — с новыми числами; разбор после каждого ответа.

Перейти к практике