11 класс · Уравнения. Неравенства. Системы
15.4*. Задачи с условиями
ИдеяРаньше мы решали уравнение при заданном значении $a$. Здесь наоборот: задано условие (например, "неравенство верно для всех $x$ из отрезка $[2;4]$"), и требуется найти все значения $a$, при которых это условие выполняется. Это как подбор ключа не к одному замку, а сразу ко всей связке дверей.
ОпределениеВ задачах этого пункта нужно найти все значения параметра $a$, при каждом из которых выполнено некоторое дополнительное условие: уравнение имеет единственный корень, неравенство верно для всех $x$ из данного множества, два уравнения равносильны, система имеет решение и т. п.
Общая схема решения
1
Необходимое условие. Предположить, что $a$ подходит, и с помощью дополнительных соображений (симметрия, подстановка конкретного $x$, свойства коэффициентов) найти конечный список "кандидатов" — значений $a$, среди которых обязаны быть все верные ответы.
2
Достаточность. Для каждого кандидата отдельно подставить его в исходное условие и проверить: действительно ли оно выполняется при этом $a$.
3
В ответ включить только те значения, что прошли проверку шага 2.
Пример
Найдём все $a$, при которых неравенство $\dfrac{x-a}{x-8a} \lt 0$ выполняется для всех $x\in[2;4]$.
Решаем неравенство методом интервалов относительно $x$, разбирая случаи по $a$:
- $a=0$: неравенство $\tfrac{x}{x} \lt 0$ решений не имеет — не подходит;
- $a \gt 0$: решения — интервал $a \lt x \lt 8a$;
- $a \lt 0$: решения — интервал $8a \lt x \lt a$, то есть только отрицательные $x$, отрезок $[2;4]$ туда не попадает.
Остаётся случай $a \gt 0$: отрезок $[2;4]$ целиком лежит в $(a;\,8a)$ тогда и только тогда, когда одновременно $a \lt 2$ и $8a \gt 4$, то есть $a \gt 0{,}5$.
$$0{,}5 \lt a \lt 2$$
Частая ошибкаНайти "кандидатов" на необходимом условии — и остановиться, не проверив достаточность. Например, в задачах на равносильность или единственность решения кандидат, полученный из симметрии или подстановки одного конкретного значения, может не подойти при полной проверке — его нужно отбросить, а не включать в ответ автоматически.
Запомни
Задачи с условиями
- ищем не корень уравнения, а значения параметра, при которых верно условие;
- схема: необходимое условие (сузить круг кандидатов) → достаточность (проверить каждого);
- "условие для всех $x$ из множества" — это включение множества решений в данное множество;
- без проверки достаточности ответ рискует быть неполным или содержать лишнее.