11 класс · Комплексные числа
16.1*. Алгебраическая форма комплексного числа
ИдеяСреди действительных чисел нет такого, чей квадрат равен $-1$. Чтобы такие уравнения тоже имели решения, придумали новый "знак" $i$ и договорились работать с выражениями вида $a+bi$ по определённым правилам — почти как с обычными двучленами, только $i^2$ всегда заменяем на $-1$.
ОпределениеКомплексным числом называют выражение вида $z=a+bi$, где $a,b$ — действительные числа, $i$ — мнимая единица ($i^2=-1$). Число $a=\operatorname{Re}z$ называют действительной частью, число $b=\operatorname{Im}z$ — мнимой частью числа $z$. Запись $z=a+bi$ называют алгебраической формой комплексного числа.
Действия над комплексными числами
Пусть $z_1=a+bi$ и $z_2=c+di$. Тогда:
1
Равенство: $z_1=z_2 \iff a=c$ и $b=d$.
2
Сумма: $z_1+z_2=(a+c)+(b+d)i$ — складываем части по отдельности.
3
Произведение: $z_1z_2=(ac-bd)+(ad+bc)i$ — раскрываем скобки как обычно, заменяя $i^2$ на $-1$.
4
Частное ($z_2\ne0$): умножаем числитель и знаменатель на $c-di$, чтобы в знаменателе исчезла мнимая часть.
Примеры
$$(3+2i)+(-1+3i)=2+5i$$
$$(3+2i)(-1+3i)=(-3-6)+(9-2)i=-9+7i$$
$$i^2=(0+1i)(0+1i)=(0\cdot0-1\cdot1)+(0\cdot1+1\cdot0)i=-1$$
$$(2+3i)^2=4+12i+9i^2=4-9+12i=-5+12i$$
Частая ошибкаПри перемножении $(a+bi)(c+di)$ забывают, что $i^2=-1$, и оставляют $bdi^2$ как есть, вместо того чтобы заменить на $-bd$ и прибавить к действительной части (а не вычесть по ошибке из мнимой).
Запомни
Алгебраическая форма
- $z=a+bi$, $i^2=-1$, $a=\operatorname{Re}z$, $b=\operatorname{Im}z$;
- складываем и вычитаем — по частям, как векторы;
- умножаем — как многочлены, заменяя $i^2$ на $-1$;
- множество комплексных чисел содержит все действительные числа ($b=0$).