11 класс · Комплексные числа
18.2*. Показательная форма комплексного числа
ИдеяФормула Эйлера $e^{i\varphi}=\cos\varphi+i\sin\varphi$ — одна из самых красивых в математике: она связывает число $e$, мнимую единицу $i$ и тригонометрию в одну компактную запись. С её помощью тригонометрическая форма $z=r(\cos\varphi+i\sin\varphi)$ сжимается до ещё короче: $z=re^{i\varphi}$.
ОпределениеДля комплексного числа $\alpha+\beta i$ по определению полагают $e^{\alpha+\beta i}=e^{\alpha}(\cos\beta+i\sin\beta)$. Отсюда при $\alpha=0$ получаем формулу Эйлера:
$$e^{i\varphi}=\cos\varphi+i\sin\varphi$$
Тогда любое $z\ne0$ записывается в показательной форме: $z=re^{i\varphi}$, где $r=|z|$, $\varphi=\arg z$.
Свойства и формулы
1
$|e^{i\varphi}|=1$ при любом $\varphi$ — точка $e^{i\varphi}$ всегда лежит на единичной окружности.
2
Знаменитый частный случай — тождество Эйлера: $e^{i\pi}=-1$.
3
Умножение: $z_1z_2=r_1r_2\,e^{i(\varphi_1+\varphi_2)}$; деление: $z_1/z_2=(r_1/r_2)\,e^{i(\varphi_1-\varphi_2)}$.
4
Степень: $z^n=r^n e^{i\varphi n}$ для любого целого $n$ — та же формула Муавра, только компактнее.
Пример
Запишем $z=3+4i$ в показательной форме. Модуль $|z|=\sqrt{3^2+4^2}=5$, значит
$$z=5\left(\frac35+\frac45 i\right)=5(\cos\alpha+i\sin\alpha)=5e^{i\alpha},\quad \cos\alpha=\frac35,\ \sin\alpha=\frac45$$
Частая ошибкаПутают показательную форму $z=re^{i\varphi}$ (где $\varphi$ — аргумент, число в показателе степени у $i$) с обычной действительной степенью. Показатель $\varphi$ всегда действительное число (радианы угла), а сам множитель $e^{i\varphi}$ — это просто другая запись $\cos\varphi+i\sin\varphi$, не "число $e$ в степени $i\varphi$" в привычном арифметическом смысле.
Запомни
Показательная форма
- $e^{i\varphi}=\cos\varphi+i\sin\varphi$ — формула Эйлера;
- $e^{i\pi}=-1$ — тождество Эйлера;
- $z=re^{i\varphi}$, $r=|z|$, $\varphi=\arg z$;
- умножение/деление/степень — как в тригонометрической форме, но компактнее.