🎓ИдеяВ школе привыкли: если дискриминант отрицателен — "корней нет". На самом деле корни есть всегда, просто они комплексные! Более того, у многочлена степени $n$ корней ровно $n$ (считая кратность) — эту простую и мощную идею называют основной теоремой алгебры.
📐ОпределениеДействительное или комплексное число $\alpha$ называют корнем многочлена $P_n(x)$, если $P_n(\alpha)=0$. Если множители $(x-\alpha_j)$ повторяются $k_j$ раз, число $\alpha_j$ называют корнем кратности $k_j$.
Ключевые теоремы
1Основная теорема алгебры: любой многочлен степени $n\ge1$ имеет хотя бы один корень (действительный или комплексный).
2Многочлен степени $n$ имеет ровно $n$ корней, если считать каждый корень столько раз, какова его кратность.
3Для квадратного трёхчлена $x^2+px+q$ с действительными $p,q$: при $D/4 \gt 0$ — два разных действительных корня, при $D/4=0$ — один действительный корень кратности $2$, при $D/4 \lt 0$ — два сопряжённых комплексных корня.
4Теорема о сопряжённых корнях: если многочлен с действительными коэффициентами имеет комплексный корень $a+bi$ ($b\ne0$), то у него обязательно есть и корень $a-bi$.
Примеры из учебника
Корни $P_2(x)=x^2+x+1$: здесь $D/4=\tfrac14-1=-\tfrac34 \lt 0$, значит корни комплексные и сопряжённые:
$$x_{1,2}=-\frac12\pm i\frac{\sqrt3}{2}$$
Корни $P_3(x)=x^3+x^2+2x-4$: подбором находим целый корень $x_1=1$, раскладываем $P_3(x)=(x-1)(x^2+2x+4)$, а из квадратного множителя получаем сопряжённую пару $x_{2,3}=-1\pm i\sqrt3$.
⚠️Частая ошибкаПри отрицательном дискриминанте пишут "корней нет" вместо "корни комплексные, их можно найти". Также забывают, что если один комплексный корень многочлена с действительными коэффициентами найден, второй (сопряжённый) находится автоматически, без дополнительных вычислений.
Запомни
🧠Корни многочленов
многочлен степени $n$ — ровно $n$ корней (с учётом кратности);
$D/4 \lt 0$ у квадратного трёхчлена — не "нет корней", а комплексные сопряжённые;
у многочлена с действительными коэффициентами комплексные корни идут парами $a\pm bi$;
нечётная степень с действительными коэффициентами — всегда есть хотя бы один действительный корень.