Мы изучили семь формул сокращённого умножения по отдельности. Теперь пора собрать их
в одну таблицу и научиться применять — не по одной, а комбинируя несколько формул сразу
в одном примере. Вот полный список:
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ — квадрат суммы
$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ — квадрат разности
$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$ — разность квадратов
$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$ — сумма кубов
$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$ — разность кубов
$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$ — куб суммы
$(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$ — куб разности
💡 Из жизни: формулы сокращённого умножения — это как набор готовых
отмычек. Вместо того чтобы каждый раз «взламывать» выражение долгим умножением скобки
на скобку, опытный человек сразу узнаёт знакомый вид — квадрат суммы, разность кубов —
и получает ответ в одну строчку.
Формулы работают для любых выражений, не только для одной буквы
Все эти равенства — тождества: они остаются верными, если вместо $a$ и $b$ подставить
не просто числа или буквы, а любые целые выражения. Например, выражение
$(a+b+c+d)^2$ можно рассматривать как квадрат суммы двух слагаемых — $(a+b)$ и
$(c+d)$ — и применить обычную формулу квадрата суммы:
🧠 Приём «спрятать несколько слагаемых в одну скобку» встречается очень часто —
например, $(x+y-z)^2$ раскладывают как квадрат суммы $x+y$ и $(-z)$.
Упрощение выражения из нескольких формул
Формулы часто применяют не по одной, а цепочкой: сначала свернуть один
кусок выражения, потом другой. Разберём пример по шагам:
$$(a+1)(a-1)(a^4+a^2+1) + (a^2-a+1)(a+1)$$
1
Первые два множителя $(a+1)(a-1)$ — это разность квадратов:
$(a+1)(a-1)=a^2-1$. Подставляем:
$$(a^2-1)(a^4+a^2+1) + (a^2-a+1)(a+1).$$
2
Во втором слагаемом множители $(a^2-a+1)$ и $(a+1)$ переставим местами —
получится $(a+1)(a^2-a+1)$. Это как раз вид формулы суммы кубов
$(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3$ при $b=1$:
$$(a+1)(a^2-a+1) = a^3+1.$$
3
Первое слагаемое $(a^2-1)(a^4+a^2+1)$ — тоже вид разности кубов
$(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3$, только записан как $(a^2-1)(a^4+a^2\cdot1+1^2)$
при «первом числе» $a^2$ и «втором» $1$:
$$(a^2-1)(a^4+a^2+1) = (a^2)^3 - 1^3 = a^6-1.$$
4
Складываем оба результата — единицы взаимно уничтожаются:
$$(a^6-1) + (a^3+1) = a^6+a^3.$$
Так длинное выражение из четырёх скобок свернулось в короткий двучлен всего за
три применения формул: разности квадратов, суммы кубов и разности кубов.
Быстрый счёт в уме
Формула разности квадратов $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$ — отличный способ быстро перемножить
в уме два числа, стоящих близко к «круглому» числу. Например, чтобы посчитать
$998 \times 1002$, не нужно умножать
столбиком: заметим, что $998 = 1000-2$, а $1002 = 1000+2$ — это как раз вид
$(a-b)(a+b)$ при $a=1000$ и $b=2$:
Справа — живая модель этого приёма: потяни точку и посмотри, как для любого числа
$d$, отступленного от $1000$ в обе стороны,
произведение крайних точек совпадает с $1000^2-d^2$.
Частая ошибка
⚠️ Частая ошибка: увидев в выражении две похожие скобки, применять
«первую попавшуюся» формулу, не проверив знаки и степени. Например, $(a^2-1)(a^4+a^2+1)$
по ошибке принимают за разность квадратов $a^2-b^2$ — ведь есть минус между скобками
«похоже». На самом деле здесь три слагаемых во второй скобке, а не
два — это вид $(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3$. Прежде чем применять формулу, всегда
проверяй: сколько слагаемых в каждой скобке и какие в них знаки — только это точно
подскажет, какая формула подходит.
Запомни
🧠 Формулы сокращённого умножения применяют для: упрощения громоздких
выражений (свернуть длинное произведение в короткий многочлен), разложения многочлена
на множители (прочитать формулу справа налево), быстрого устного счёта (найти удобное
«круглое» число рядом с данными числами). Все формулы — тождества и работают не только
для одной буквы, но и для любых целых выражений, спрятанных под $a$ и $b$. Перед тем как
применить формулу, всегда проверяй число слагаемых и их знаки — от этого зависит, какая
именно формула подойдёт.