💡 Из жизни: мы уже знаем формулу куба суммы:
$(a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$. Разность $(a-b)$ — это та же сумма, только вместо
$b$ подставлено $(-b)$. Значит, можно рассуждать так же: $(a-b)^3 = (a-b)^2(a-b)$ —
взять уже известный квадрат разности и домножить его ещё на одну разность $(a-b)$.
Рассмотрим произведение $(a-b)^2(a-b)$, где $a$
и $b$ — любые числа, причём $a>b$, чтобы
разность оставалась положительной. Подставим формулу квадрата разности и раскроем
скобки, а затем нажми кнопку — приведение подобных слагаемых покажется по шагам.
1
Заменяем $(a-b)^2$ на $a^2-2ab+b^2$ и умножаем каждый член первой скобки на
каждый член второй:
$$(a-b)^2(a-b) = (a^2-2ab+b^2)(a-b) = a^3 - a^2b - 2a^2b + 2ab^2 + ab^2 - b^3.$$
2
Приводим подобные слагаемые: $-a^2b$ и $-2a^2b$ складываются в $-3a^2b$, а
$2ab^2$ и $ab^2$ складываются в $3ab^2$:
$$a^3 - a^2b - 2a^2b + 2ab^2 + ab^2 - b^3 = a^3-3a^2b+3ab^2-b^3.$$
Определение. Равенство
$$(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3 \qquad (1)$$
называют формулой куба разности. Читается так: куб разности двух
чисел равен кубу первого числа минус утроенное произведение квадрата первого числа
и второго плюс утроенное произведение первого числа и квадрата второго минус куб
второго числа. Формула (1), прочитанная справа налево, показывает, что многочлен
$a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$ раскладывается на множители — на произведение трёх одинаковых
множителей $(a-b)$.
Живая проверка формулы
Формула работает для любых чисел $a$ и
$b$ при условии $a>b$ — потяни точки на
шкалах справа и убедись, что левая часть $(a-b)^3$ и правая часть
$a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$ всегда совпадают.
Прямоугольник справа наглядно показывает произведение: одна его сторона равна
$(a-b)$, другая — квадрату разности $(a-b)^2$, а площадь всего прямоугольника равна
кубу разности $(a-b)^3$.
Применение формулы
Формулу (1) применяют и в обратную сторону: если видим многочлен из четырёх
слагаемых такого вида (знаки чередуются) — сворачиваем его в куб разности двух чисел.
⚠️ Частая ошибка: путать знаки в формуле — писать все четыре
слагаемых с одним знаком, либо забывать средние слагаемые вовсе (писать
$(a-b)^3 = a^3-b^3$). В формуле куба разности знаки чередуются: плюс, минус, плюс,
минус. Проверь на числах: при $a=3$, $b=1$ куб разности $(a-b)^3=2^3=8$, а если
ошибочно взять $a^3-b^3=27-1=26$ — числа совсем разные! Правильно:
$(3-1)^3 = 3^3-3\cdot 3^2\cdot 1+3\cdot 3\cdot 1^2-1^3 = 27-27+9-1=8$ — совпало.
Запомни
🧠 Формула куба разности:
$$(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3.$$
Читаем: куб разности двух чисел равен кубу первого числа минус утроенное
произведение квадрата первого числа и второго, плюс утроенное произведение первого
числа и квадрата второго, минус куб второго числа. Легко получить из уже известного
$(a-b)^2$: $(a-b)^3=(a-b)^2(a-b)$. Формула работает в обе стороны: можно раскрывать
скобки, а можно сворачивать четырёхчлен обратно в куб разности.