Мы уже знаем, что сумма, разность и произведение двух многочленов — снова многочлен.
А что получится, если один многочлен разделить на другой? Такое частное уже не всегда
удаётся записать в виде многочлена — и для него вводят отдельное название.
Определение. Пусть $A$ и $B$ — многочлены, причём $B$ не равен нулю
тождественно. Тогда выражение $\dfrac{A}{B}$ называют алгебраической дробью.
Многочлен $A$ называют числителем дроби, а многочлен $B$ — её знаменателем.
Например, выражения $\dfrac{a}{a+1}$ и
$\dfrac{a^2-b^2}{3}$ — алгебраические дроби. В знаменателе второй дроби стоит число $3$,
но его тоже можно рассматривать как многочлен.
💡 Из жизни: обычная дробь $\dfrac{2}{5}$ — это отношение двух чисел.
Алгебраическая дробь устроена так же, только вместо конкретных чисел в числителе
и знаменателе стоят целые выражения с буквами — например, $\dfrac{x+3}{x-1}$. Если вместо
букв подставить числа (кроме тех, что обращают знаменатель в нуль), алгебраическая
дробь превратится в обычную числовую.
Если $A=a$ и $B=b$ ($b\neq 0$) — просто числа, то частное $\dfrac{A}{B}$ есть обычное
число $\dfrac{a}{b}$. А любой многочлен $A$ можно рассматривать как алгебраическую
дробь со знаменателем $1$: $x-2y=\dfrac{x-2y}{1}$.
Основное свойство алгебраической дроби
Алгебраические дроби обладают тремя важными свойствами:
Равенство (2) — это основное свойство алгебраической дроби: если
числитель и знаменатель дроби умножить на один и тот же ненулевой многочлен $C$,
получится дробь, равная исходной. Переход от $\dfrac{A}{B}$ к $\dfrac{A\cdot C}{B\cdot C}$
называют приведением дроби к новому знаменателю $B\cdot C$.
Приведём $\dfrac{x+1}{x-1}$ к знаменателю $(x-1)^2$
1
Чтобы из знаменателя $x-1$ получить $(x-1)^2$, нужно умножить его на $(x-1)$ —
значит, множитель $C=(x-1)$.
2
По основному свойству умножаем числитель и знаменатель на этот же множитель:
$$\dfrac{x+1}{x-1}=\dfrac{(x+1)(x-1)}{(x-1)(x-1)}.$$
3
Раскроем числитель по формуле разности квадратов:
$$\dfrac{(x+1)(x-1)}{(x-1)(x-1)}=\dfrac{x^2-1}{(x-1)^2}.$$
Сокращение дроби
Равенство (2) можно прочитать и в обратную сторону:
Это значит, что алгебраическую дробь можно сократить на общий ненулевой
множитель числителя и знаменателя. Чтобы сократить дробь, числитель и знаменатель сначала
раскладывают на множители — и только потом убирают одинаковые.
Пример. Сократим
$\dfrac{2x+x^2}{3x-x^2}$. В числителе и
знаменателе вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$$\dfrac{2x+x^2}{3x-x^2}=\dfrac{x(2+x)}{x(3-x)}=\dfrac{2+x}{3-x}.$$
⚠️ Частая ошибка: сокращать дробь на слагаемое, а не на общий множитель.
В дроби $\dfrac{x+1}{x+3}$ буква $x$ — это
слагаемое и в числителе, и в знаменателе, а не общий множитель всего числителя и всего
знаменателя. «Сократить» на неё нельзя — равенство $\dfrac{x+1}{x+3}=\dfrac{1}{3}$
неверно (легко проверить подстановкой, например, $x=1$: слева $\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}$,
а справа $\dfrac{1}{3}$). Сокращать можно только общий множитель —
то, что стоит в произведении, а не в сумме.
Иногда, чтобы увидеть общий множитель, нужны формулы сокращённого умножения. Например:
$\dfrac{x^2-1}{(x-1)^2}$ — в числителе разность
квадратов:
$$\dfrac{x^2-1}{(x-1)^2}=\dfrac{(x-1)(x+1)}{(x-1)(x-1)}=\dfrac{x+1}{x-1}.$$
Смена знака дроби
Равенство (3) показывает, что знак перед дробью можно перенести в числитель или
в знаменатель — от этого дробь не изменится.
$-\dfrac{a-b}{c-a}$
1
Знак минус можно перенести в числитель, поменяв в нём знаки:
$$-\dfrac{a-b}{c-a}=\dfrac{-(a-b)}{c-a}=\dfrac{-a+b}{c-a}.$$
2
А можно вместо этого перенести минус в знаменатель:
$$-\dfrac{a-b}{c-a}=\dfrac{a-b}{-(c-a)}=\dfrac{a-b}{-c+a}.$$
Запомни
1. Алгебраическая дробь $\dfrac{A}{B}$ — частное многочленов $A$ и $B$, где $B\neq 0$
2. Основное свойство: $\dfrac{A}{B}=\dfrac{A\cdot C}{B\cdot C}$ — числитель и знаменатель можно умножить на один и тот же ненулевой многочлен
3. Сокращать дробь можно только на общий множитель числителя и знаменателя, а не на слагаемое
4. Перед сокращением числитель и знаменатель нужно разложить на множители
5. Знак дроби можно переносить между числителем и знаменателем: $-\dfrac{A}{B}=\dfrac{-A}{B}=\dfrac{A}{-B}$
🧠 Главное: алгебраическая дробь — это как обычная дробь, только вместо
чисел в числителе и знаменателе стоят многочлены. Все привычные действия с дробями
(приведение к общему знаменателю, сокращение) работают так же — только вместо деления
чисел придётся раскладывать многочлены на множители.