Приведение алгебраических дробей к общему знаменателю
Общий знаменатель — как для обычных дробей
Чтобы сложить или сравнить обыкновенные дроби $\dfrac{1}{2}$ и $\dfrac{1}{3}$, их сначала
приводят к общему знаменателю. С алгебраическими дробями поступают точно так же —
используя основное свойство дроби $\dfrac{A}{B}=\dfrac{A\cdot C}{B\cdot C}$.
Определение. Пусть даны дроби $\dfrac{A}{B}$ и $\dfrac{C}{D}$.
В качестве общего знаменателя всегда можно взять произведение
знаменателей $B\cdot D$. Тогда
$$\dfrac{A}{B}=\dfrac{A\cdot D}{B\cdot D}, \qquad \dfrac{C}{D}=\dfrac{C\cdot B}{D\cdot B}.$$
Многочлен, на который умножили числитель и знаменатель каждой дроби (здесь — $D$
для первой дроби и $B$ для второй), называют дополнительным множителем
этой дроби.
Пример 1. Дроби $\dfrac{1}{x-1}$ и $\dfrac{1}{x+1}$
имеют общий знаменатель $(x-1)(x+1)=x^2-1$. Дополнительный множитель первой дроби —
$(x+1)$, второй — $(x-1)$:
$$\dfrac{1}{x-1}=\dfrac{x+1}{x^2-1}, \qquad \dfrac{1}{x+1}=\dfrac{x-1}{x^2-1}.$$
💡 Из жизни: общий знаменатель — это как общая мерка для двух дробей.
Чтобы сравнить $\dfrac{1}{2}$ пиццы и $\dfrac{1}{3}$ пиццы, обе делят на одинаковые
по размеру кусочки — шестые доли. С алгебраическими дробями то же самое: подбирают
такой знаменатель, в который «влезают» оба исходных.
Если знаменатели имеют общий множитель
Произведение знаменателей $B\cdot D$ всегда годится в качестве общего знаменателя,
но не всегда является самым простым. Если многочлены $B$ и $D$ имеют общий множитель
$R$, то есть $B=B_1\cdot R$ и $D=D_1\cdot R$, то более простым общим знаменателем
служит произведение $B_1\cdot D_1\cdot R$ — в нём множитель $R$ взят только один раз,
а не дважды.
Пример 2. Дроби $\dfrac{1}{x^2-1}$ и
$\dfrac{1}{(x-1)^2}$
1
Разложим знаменатели на множители:
$$x^2-1=(x-1)(x+1), \qquad (x-1)^2=(x-1)(x-1).$$
2
У обоих знаменателей есть общий множитель $(x-1)$. Значит, общим знаменателем
можно взять $(x-1)^2(x+1)$ — вместо полного произведения $(x^2-1)(x-1)^2$,
в котором множитель $(x-1)$ повторялся бы трижды.
3
Найдём дополнительные множители: первой дроби не хватает $(x-1)$, второй —
$(x+1)$:
$$\dfrac{1}{x^2-1}=\dfrac{x-1}{(x-1)^2(x+1)}, \qquad \dfrac{1}{(x-1)^2}=\dfrac{x+1}{(x-1)^2(x+1)}.$$
🧠 При приведении дробей к общему знаменателю знаменатели полезно сначала разложить
на множители — так виден их общий множитель, и общий знаменатель получается проще.
Смена знака знаменателя
Иногда знаменатели двух дробей отличаются только порядком слагаемых, то есть знаком:
например, $x-1$ и $1-x$. Чтобы привести такие дроби к общему знаменателю, достаточно
поменять знак одного из знаменателей, одновременно поменяв знак числителя (или знак
всей дроби) — по свойству $-\dfrac{A}{B}=\dfrac{-A}{B}=\dfrac{A}{-B}$.
Пример 3. Дроби $\dfrac{3}{x-1}$ и
$\dfrac{x}{1-x}$
1
Знаменатель $1-x$ отличается от $x-1$ только знаком: $1-x=-(x-1)$.
2
Поменяем знак числителя и знаменателя второй дроби на противоположные —
значение дроби от этого не изменится:
$$\dfrac{x}{1-x}=\dfrac{-x}{-(1-x)}=\dfrac{-x}{x-1}.$$
3
Теперь у обеих дробей одинаковый знаменатель $x-1$, дополнительные множители
не нужны:
$$\dfrac{3}{x-1} \quad \text{и} \quad \dfrac{-x}{x-1}.$$
Запомни
1. Общий знаменатель дробей $\dfrac{A}{B}$ и $\dfrac{C}{D}$ всегда можно взять равным $B\cdot D$
2. Множитель, на который домножают числитель и знаменатель дроби, — её дополнительный множитель
3. Если знаменатели раскладываются на множители с общим множителем $R$, более простой общий знаменатель — $B_1\cdot D_1\cdot R$
4. Перед приведением к общему знаменателю знаменатели полезно разложить на множители
5. Знаменатели, отличающиеся знаком (например, $x-1$ и $1-x$), приводят друг к другу сменой знака числителя и знаменателя
⚠️ Частая ошибка: всегда брать в качестве общего знаменателя
произведение $B\cdot D$, даже когда знаменатели имеют общий множитель. Формально это
не ошибка — такая дробь тоже верна, но с ней неудобно работать: в числителе и
знаменателе появляется лишний повторяющийся множитель, который потом придётся
сокращать. Всегда проверяй: не раскладываются ли знаменатели на множители с общей
частью.