Вспомним: у простого числа $p$ всего два делителя — $1$ и само $p$. А у составного
числа $n$, кроме $1$ и $n$, обязательно найдётся ещё хотя бы один делитель.
Например: делители числа 13 — это $1$ и
$13$; делители числа 4 — это $1$, $2$, $4$;
делители числа 12 — это $1$, $2$, $3$, $4$,
$6$, $12$.
Определение. Если делитель числа — простое число, его называют
простым делителем.
Так, число $13$ имеет один простой делитель — $13$; число $4$ имеет один простой
делитель — $2$; число $12$ имеет два простых делителя — $2$ и $3$. Переключись на
вкладку «Простые делители» справа и проверь это на плитках делителей.
💡 Из жизни: Представь число как набор одинаковых кубиков-«кирпичей».
Простые делители — это те самые неделимые «кирпичи», из которых, как из конструктора,
собрано любое число. Число $12$ можно построить только из кирпичей $2$ и $3$ — других
простых «деталей» в нём нет.
Разложение на простые множители
Каждое составное натуральное число можно представить как произведение степеней его
различных простых делителей, записанных в порядке возрастания. Например:
Определение. Правые части таких равенств называют
разложениями на простые множители. Разложить натуральное число на
простые множители — значит представить его в виде произведения различных простых
чисел, взятых в соответствующих степенях, записанных в порядке возрастания этих
простых чисел.
📐 Основная теорема арифметики. Каждое отличное от $1$ натуральное
число можно разложить на простые множители, и такое разложение единственно.
Неважно, с какой пары множителей ты начнёшь раскладывать число — в конце получишь один
и тот же набор простых чисел с одними и теми же степенями. Проверь это в интерактиве
справа: дерево множителей для числа $90$
начинается с разбиения $90 = 9 \cdot 10$, но результат — те же простые множители, что
получились бы при разбиении $90 = 2 \cdot 45$.
Пример: раскладываем число 90
Разберём разложение числа $90$ по шагам — точно так же, как показано в учебнике.
1
$90$ делится на простое число $2$, поэтому $90 = 2 \cdot 45$.
2
$45$ не делится на $2$, но делится на простое число $3$: $45 = 3 \cdot 15$.
3
$15$ делится на $3$: $15 = 3 \cdot 5$.
4
Число $5$ — простое, процесс поиска простых делителей закончен.
⚠️ Частая ошибка: ученики останавливают разложение, как только
нашли один простой делитель, и пишут, например, $90 = 2 \cdot 45$, забывая, что
$45$ — тоже составное число и его нужно раскладывать дальше. Разложение закончено
только тогда, когда все множители — простые числа.
Числа с делителями только 2 и 5
В дальнейшем нам будут интересны натуральные числа, которые не имеют других простых
делителей, кроме $2$ и $5$. Такое число $m$ может быть:
степенью числа $2$: $2,\ 2^2=4,\ 2^3=8,\ 2^4=16,\ 2^5=32,\ \ldots$
степенью числа $5$: $5,\ 5^2=25,\ 5^3=125,\ 5^4=625,\ \ldots$
произведением некоторой степени $2$ и некоторой степени $5$: например,
$2^2 \cdot 5^2 = 100$, $2^3 \cdot 5^2 = 200$, $2^4 \cdot 5 = 80$
единицей ($m=1$) — ведь у единицы вообще нет простых делителей
🧠 Запомни: разложить число на простые множители — значит дойти до
конца: пока хоть один множитель составной, дели его дальше. Порядок разбиения не важен —
итоговый набор простых множителей и их степеней всегда один и тот же (основная теорема
арифметики).