Положительным рациональным числом называют число, которое может быть записано в виде $\dfrac{p}{q}$, где $p$ и $q$ — натуральные числа. Такое число называют также обыкновенной положительной дробью, или просто дробью. Число $p$ называют числителем дроби, а число $q$ — её знаменателем.
Примеры дробей: $\dfrac{2}{3}$, $\dfrac{6}{8}$, $\dfrac{123}{150}$, $\dfrac{8}{4}$, $\dfrac{7}{1}$, $\dfrac{7}{5}$.
Любое натуральное число $p$ можно записать в виде дроби $\dfrac{p}{1}$, то есть $p = \dfrac{p}{1}$. До п. 2.5 учебник рассматривает только положительные дроби, но слово «положительная» для краткости опускают, подразумевая его.
Для любого натурального числа $n$ справедливо равенство, которое называют основным свойством дроби:
$$\frac{p}{q} = \frac{p \cdot n}{q \cdot n} \qquad (1)$$
Например: $\dfrac{7}{3} = \dfrac{7 \cdot 5}{3 \cdot 5} = \dfrac{35}{15}$, $\dfrac{2}{1} = \dfrac{2 \cdot 5}{1 \cdot 5} = \dfrac{10}{5}$, $\dfrac{17}{2} = \dfrac{17 \cdot 5}{2 \cdot 5} = \dfrac{85}{10}$. Левая и правая части равенства (1) — это разные записи одного и того же рационального числа. Переключись на вкладку «Основное свойство» справа: точка на числовой прямой не сдвигается, меняется только то, на сколько равных частей разбит каждый отрезок.
Если $p < q$, дробь называют правильной. Если $p \ge q$ — дробь неправильная. Например, $\dfrac{4}{9}$ — правильная дробь, а $\dfrac{8}{8}$ и $\dfrac{9}{8}$ — неправильные дроби.
Если знаменатель $q$ дроби $\dfrac{p}{q}$ равен $10$, или $100$, или $1000$, или $10\,000$, ... — то есть является некоторой степенью числа $10$ — обыкновенную дробь можно записать в виде конечной десятичной дроби.
Например: $\dfrac{3}{10} = 0{,}3$; $\dfrac{7}{100} = 0{,}07$; $\dfrac{12437}{1000} = 12{,}437$; $\dfrac{234}{100000} = 0{,}00234$. Важно понимать: $\dfrac{7}{100}$ и $0{,}07$ — это лишь два разных обозначения одного и того же числа. Попробуй разные примеры на вкладке «Дробь → десятичная» справа.
Верно и обратное: любую конечную десятичную дробь можно записать в виде обыкновенной дроби $\dfrac{p}{q}$, у которой $q$ — степень числа $10$. Например: $1{,}05 = \dfrac{105}{10^2}$, $8{,}234 = \dfrac{8234}{10^3}$, $3{,}0122 = \dfrac{30122}{10^4}$, $0{,}00012 = \dfrac{12}{10^5}$.
Любое натуральное число можно записать в виде конечной десятичной дроби, например: $3 = 3{,}0 = 3{,}00 = 3{,}000 = \ldots$ На практике это используют, например, в измерениях: если длину измерили с точностью до сантиметра и получили $3$ м, пишут $3{,}00$ м — так подчёркивают, что результат известен с точностью до $1$ см ($0{,}01$ м).