Данная точка называется центром окружности, а отрезок, соединяющий центр с какой-либо точкой окружности, — радиусом окружности. Из определения следует, что все радиусы одной окружности имеют одну и ту же длину.
Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется её хордой. Хорда, проходящая через центр, называется диаметром — он в два раза больше радиуса, а центр окружности является серединой любого диаметра. Любые две точки окружности делят её на две части — каждая называется дугой окружности. Часть плоскости, ограниченная окружностью, называется кругом.
Линейка без делений позволяет провести произвольную прямую и прямую через две данные точки. Циркуль позволяет провести окружность произвольного радиуса, а также окружность с центром в данной точке и радиусом, равным данному отрезку. Оказывается, что очень многие построения можно выполнить, пользуясь только этими двумя инструментами — такие задачи и называют задачами на построение.
Простейший пример: чтобы отложить на луче от его начала отрезок, равный данному отрезку $AB$, циркулем строят окружность радиуса $AB$ с центром в начале луча — она пересечёт луч ровно в одной точке, которая и даёт искомый отрезок. Этим же приёмом («окружность = равные отрезки») пользуются во всех задачах ниже.
Дан угол с вершиной $A$ и луч $OM$. Нужно отложить от луча угол, равный данному, так чтобы одна из его сторон совпала с $OM$.
Решение. Проведём окружность произвольного радиуса с центром в вершине $A$ данного угла — она пересечёт стороны угла в точках $B$ и $C$. Затем проведём окружность того же радиуса с центром в начале луча $OM$ — она пересечёт луч в точке $D$. После этого построим окружность с центром $D$, радиус которой равен $BC$. Окружности с центрами $O$ и $D$ пересекаются в двух точках; одну из них обозначим $E$. Тогда луч $OE$см. чертёж справа и есть искомая сторона.
Почему это верно: отрезки $AB$ и $AC$ — радиусы одной окружности, $OD$ и $OE$ — радиусы окружности того же радиуса, значит $AB = OD$ и $AC = OE$. По построению $BC = DE$. Значит $\triangle ABC = \triangle ODE$ по трём сторонам, откуда $\angle DOE = \angle BAC$ — построенный угол $MOE$ равен данному углу $A$.
Дан угол $BAC$. Нужно построить его биссектрису.
Решение. Проведём окружность произвольного радиуса с центром в вершине $A$ — она пересечёт стороны угла в точках $B$ и $C$. Затем проведём две окружности одинакового радиуса $BC$ с центрами в точках $B$ и $C$. Они пересекутся в двух точках, из которых хотя бы одна лежит внутри угла — обозначим её $E$. Тогда луч $AE$см. чертёж справа — биссектриса угла $BAC$.
Почему это верно: в треугольниках $ACE$ и $ABE$ сторона $AE$ — общая, $AC = AB$ как радиусы одной окружности, $CE = BE$ по построению (обе окружности радиуса $BC$). Значит $\triangle ACE = \triangle ABE$ по трём сторонам, откуда $\angle CAE = \angle BAE$, то есть $AE$ делит угол $BAC$ пополам.
Даны прямая $a$ и точка $M$ на ней. Нужно построить прямую, проходящую через $M$ и перпендикулярную к $a$.
Решение. На лучах прямой $a$, исходящих из точки $M$, отложим равные отрезки $MA$ и $MB$ (циркулем — одним и тем же раствором в обе стороны). Затем построим две окружности с центрами $A$ и $B$ радиуса $AB$ — они пересекаются в двух точках $P$ и $Q$. Тогда прямая $MP$см. чертёж справа (она же прямая $PQ$) перпендикулярна к $a$.
Почему это верно: так как медиана $PM$ равнобедренного треугольника $PAB$ (в нём $PA = PB$ как радиусы окружностей одного радиуса $AB$) является также и высотой этого треугольника, то $PM \perp a$.
Дан отрезок $AB$. Нужно построить его середину.
Решение. Построим две окружности радиуса $AB$ с центрами $A$ и $B$. Они пересекаются в точках $P$ и $Q$. Проведём прямую $PQ$см. чертёж справа — точка $O$ её пересечения с отрезком $AB$ и есть искомая середина.
Докажем, что $O$ — середина $AB$ и одновременно $PQ \perp AB$.