Определение. Две прямые на плоскости называются параллельными,
если они не пересекаются. Параллельность прямых $a$ и $b$ обозначают так: $a \parallel b$.
Наряду с параллельными прямыми часто рассматривают параллельные отрезки: два отрезка называются
параллельными, если они лежат на параллельных прямых. Аналогично определяется параллельность
отрезка и прямой, луча и прямой, отрезка и луча, двух лучей.
25. Секущая и восемь углов
Прямая $c$ называется секущей по отношению к прямым $a$ и $b$, если она
пересекает их в двух точках — на нашей схеме это точки $A$
(на прямой $a$) и $B$ (на прямой $b$). При пересечении
прямых $a$ и $b$ секущей $c$ образуется восемь углов, которые принято нумеровать цифрами 1–8.
Среди этих восьми углов выделяют три пары со специальными названиями:
накрест лежащие углы — лежат между прямыми $a$ и $b$,
по разные стороны от секущей ($\angle 3$ и $\angle 5$, а также $\angle 4$ и $\angle 6$);
односторонние углы — лежат между прямыми $a$ и
$b$, по одну и ту же сторону от секущей ($\angle 4$ и $\angle 5$, а также $\angle 3$ и
$\angle 6$);
соответственные углы — занимают одинаковое положение
относительно точек пересечения ($\angle 1$ и $\angle 5$, $\angle 2$ и $\angle 6$, $\angle 3$ и
$\angle 7$, $\angle 4$ и $\angle 8$).
Переключай вкладки на схеме справа и перетаскивай оранжевые точки на концах прямых $a$ и $b$ —
меняй наклон каждой прямой и смотри, при каком условии выбранная пара углов совпадает (или в
сумме даёт $180°$) и прямые становятся параллельны.
Признак 1. По накрест лежащим углам
Теорема. Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны,
то прямые параллельны.
Доказательство
Пусть при пересечении прямых $a$ и $b$ секущей $AB$ накрест лежащие углы равны: $\angle 3 = \angle 5$. Докажем, что $a \parallel b$.
1
Если $\angle 3$ и $\angle 5$ — прямые углы, то прямые $a$ и $b$ перпендикулярны к $AB$, а
значит, обе не пересекают $AB$ дважды под разными углами и, как доказано раньше (две прямые,
перпендикулярные к третьей, не пересекаются), $a \parallel b$. Дальше разберём общий случай.
2
Пусть $\angle 3$ и $\angle 5$ не прямые. Из середины $O$ отрезка $AB$ проведём
перпендикуляр $OH$ к прямой $a$.
3
На прямой $b$ от точки $B$ отложим отрезок $BH_1$, равный отрезку $AH$, по ту же сторону
от $AB$, что и точка $H$. Проведём отрезок $OH_1$.
4
Треугольники $OHA$ и $OH_1B$ равны по двум сторонам и углу между ними: $OA = OB$
(по построению $O$ — середина), $AH = BH_1$ (по построению), $\angle 3 = \angle 5$ (условие).
5
Из равенства треугольников следуют два равенства углов при вершине $O$ и при основании
перпендикуляра. Первое равенство означает, что точки $H$, $O$, $H_1$ лежат на одной прямой;
второе — что угол $OH_1B$ тоже прямой (так как $OHA$ прямой по построению). Значит, обе
прямые $a$ и $b$ перпендикулярны прямой $HH_1$, а потому $a \parallel b$.
Что и требовалось доказать.
Признак 2. По соответственным углам
Теорема. Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны,
то прямые параллельны.
1
Пусть равны соответственные углы $\angle 3$ и $\angle 7$.
2
Углы 7 и 5 — вертикальные (в точке $B$), поэтому $\angle 7 = \angle 5$.
3
Из $\angle 3 = \angle 7$ и $\angle 7 = \angle 5$ следует $\angle 3 = \angle 5$ — а это накрест
лежащие углы. По уже доказанному Признаку 1 прямые $a$ и $b$ параллельны.
Признак 3. По сумме односторонних углов
Теорема. Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов
равна $180°$, то прямые параллельны.
Углы 3 и 4 — смежные (лежат на прямой $a$ по разные стороны от секущей), поэтому
$\angle 3 + \angle 4 = 180°$.
3
Из двух равенств следует $\angle 3 = \angle 5$ — накрест лежащие углы, значит по
Признаку 1 прямые $a$ и $b$ параллельны.
💡 Из жизни: признаки параллельности лежат в основе практических способов
построения параллельных прямых. Например, чтобы провести через точку $M$ прямую, параллельную
данной прямой $a$, чертёжник прикладывает к $a$ угольник, а к нему — линейку, и затем двигает
угольник вдоль линейки: построенная прямая параллельна исходной именно потому, что соответственные
углы при этом остаются равными. Похожим способом (рейсшиной) пользуются в черчении, а в столярном
деле для той же цели применяют малку — две планки, скреплённые шарниром.
⚠️ Частая ошибка: вертикальные углы ($\angle 1$ и $\angle 3$, $\angle 2$ и
$\angle 4$ в каждой точке пересечения) равны всегда, независимо от того,
параллельны прямые $a$ и $b$ или нет — это отдельное свойство пересекающихся прямых. Совпадение
вертикальных углов ничего не доказывает про параллельность. Доказывают параллельность только
через одну из трёх пар: накрест лежащие, односторонние или соответственные углы, и только между
двумя разными прямыми $a$ и $b$.
🧠 Запомни:
Три признака параллельности: накрест лежащие углы равны; соответственные
углы равны; сумма односторонних углов равна $180°$.
Признак 1 (накрест лежащие) доказывается напрямую — через вспомогательные равные
треугольники. Признаки 2 и 3 доказываются сведением к Признаку 1: через
вертикальные или смежные углы соответственные и односторонние углы превращаются в накрест
лежащие.
Верно и обратное правило поиска: чтобы доказать $a \parallel b$, достаточно найти
любую одну из трёх пар углов, удовлетворяющую своему условию — остальные две
пары тогда тоже автоматически будут его выполнять.