§3. Второй и третий признаки равенства треугольников
В прошлом параграфе мы доказали первый признак равенства треугольников —
по двум сторонам и углу между ними. Но это не единственный способ убедиться, что два
треугольника равны, не накладывая их друг на друга. Есть ещё два признака — по стороне и
двум прилежащим углам, и по трём сторонам.
19. Второй признак равенства треугольников
📐Теорема (второй признак равенства треугольников)Если сторона и два
прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим
к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
«Прилежащие к стороне углы» — это углы, вершины которых лежат на концах этой стороны.
Для стороны ABсторона AB на чертеже прилежащие углы — это
∠Aугол при вершине A (вершина A) и
∠Bугол при вершине B (вершина B).
Доказательство
Рассмотрим треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$, у которых $AB = A_1B_1$,
$\angle A = \angle A_1$, $\angle B = \angle B_1$. Докажем, что
$\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$.
Шаг 0 из 4
1
Наложим треугольник $ABC$ на треугольник $A_1B_1C_1$ так, чтобы вершина $A$
совместилась с вершиной $A_1$, сторона $AB$ — с равной ей стороной $A_1B_1$,
а вершины $C$ и $C_1$ оказались по одну сторону от прямой $A_1B_1$.
2
Так как $\angle A = \angle A_1$, сторона $AC$ наложится на луч $A_1C_1$.
3
Так как $\angle B = \angle B_1$, сторона $BC$ наложится на луч $B_1C_1$.
4
Вершина $C$ — общая точка сторон $AC$ и $BC$ — окажется лежащей одновременно
на луче $A_1C_1$ и на луче $B_1C_1$. У двух лучей может быть только одна общая
точка, поэтому $C$ совместится с $C_1$. Значит, совместятся стороны $AC$ и
$A_1C_1$, $BC$ и $B_1C_1$ — треугольники полностью совпадут.
$$\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$$
Теорема доказана.
💡Из жизниПредставь, что нужно построить треугольную крышу с заданным
основанием и заданными углами наклона скатов с обеих сторон. Если основание и оба угла
у основания зафиксированы, третья вершина (конёк крыши) определяется однозначно — сдвинуть
её никуда нельзя, не изменив хотя бы один из углов или само основание.
⚠️Частая ошибкаУченики иногда берут для признака «сторону и два угла»
любые два угла треугольника, не проверяя, что они прилежат именно к этой
стороне (то есть их вершины — это концы данной стороны). Если один из равных
углов находится при третьей, противоположной вершине — второй признак напрямую
неприменим, нужно сначала через сумму углов треугольника найти недостающий угол.
20. Третий признак равенства треугольников
📐Теорема (третий признак равенства треугольников)Если три стороны
одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие
треугольники равны.
Доказательство
Рассмотрим треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$, у которых $AB = A_1B_1$, $BC = B_1C_1$,
$CA = C_1A_1$. Докажем, что $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$.
Шаг 0 из 4
1
Приложим треугольник $ABC$ к треугольнику $A_1B_1C_1$ так, чтобы вершина $A$
совместилась с вершиной $A_1$, вершина $B$ — с вершиной $B_1$, а вершины $C$ и
$C_1$ оказались по разные стороны от прямой $A_1B_1$. Соединим
$C$ и $C_1$ отрезком.
2
Разберём случай, когда луч $CC_1$ проходит внутри угла $A_1C_1B_1$ (остальные два
случая расположения доказываются так же). Так как $AC = A_1C_1$, треугольник
$ACC_1$ — равнобедренный, значит углы при основании $CC_1$ равны: $\angle 1 =
\angle 2$.
3
Так как $BC = B_1C_1$, треугольник $BCC_1$ — тоже равнобедренный, значит
$\angle 3 = \angle 4$.
Из третьего признака следует, что треугольник — жёсткая фигура.
Две рейки, скреплённые одним гвоздём, легко «шатаются» — угол между ними можно менять
сколько угодно. Но если добавить третью рейку и скрепить все три конца в треугольник,
конструкция становится жёсткой: изменить хотя бы один угол, не меняя длины сторон,
уже невозможно — иначе получился бы другой, не равный исходному треугольник, а это
противоречит третьему признаку.
🧠Это свойство используют на практике: подпорку у столба, чтобы он не завалился,
и косынку (укосину) у кронштейна ставят именно так, чтобы получился треугольник —
тогда конструкция держит форму.
🧠Запомни: три признака равенства треугольников
Первый (СУУ, «по двум сторонам и углу между ними»):
$AB = A_1B_1$, $AC = A_1C_1$, $\angle A = \angle A_1$.
Второй (УСУ, «по стороне и двум прилежащим углам»):
$AB = A_1B_1$, $\angle A = \angle A_1$, $\angle B = \angle B_1$ —
углы обязаны прилегать к равной стороне.
Перетащи вершину C синего треугольника — сторона AB остаётся неизменной, а
оранжевый треугольник подстраивается сам, сохраняя равную сторону $A_1B_1$ и
равные углы при $A_1$ и $B_1$. Фон — сдвинуть, колесо/кнопки — масштаб
$AB = A_1B_1$, $\angle A = \angle A_1$, $\angle B = \angle B_1$ ⟹
$\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$
✓ Треугольники равны по второму признаку
Перетащи вершины B или C синего треугольника — оранжевый треугольник
подстраивается сам, сохраняя все три равные стороны. Фон — сдвинуть, колесо/кнопки — масштаб