§2. Аксиома параллельных прямых

27. Об аксиомах геометрии

Доказывая теоремы, мы всегда опираемся на теоремы, доказанные раньше. Но на чём основаны доказательства самых первых теорем геометрии? Ответ такой: некоторые утверждения о свойствах фигур принимаются как исходные положения, на основе которых строится вся остальная геометрия. Такие исходные положения называются аксиомами.

Мы уже пользовались аксиомами, даже не называя их так: через любые две точки проходит прямая, и притом только одна; на любом луче от его начала можно отложить отрезок, равный данному, и притом только один; от любого луча в заданную сторону можно отложить угол, равный данному неразвёрнутому углу, и притом только один. Все они наглядно очевидны и не вызывают сомнений.

Такой способ построения геометрии — сначала аксиомы, а затем теоремы, доказанные на их основе, — был изложен ещё Евклидом в «Началах». Сейчас познакомимся с одной из самых известных аксиом геометрии.

28. Аксиома параллельных прямых

Рассмотрим прямую $a$ и точку $M$, не лежащую на ней. Через точку $M$ несложно провести прямую, параллельную $a$: достаточно сначала провести через $M$ прямую $c$ перпендикулярно к $a$, а затем прямую $b$ перпендикулярно к $c$ — раз $a$ и $b$ обе перпендикулярны к $c$, они параллельны.

Вопрос в другом: можно ли через точку $M$ провести ещё одну прямую, параллельную $a$? Кажется, что если прямую $b$ повернуть вокруг $M$ даже на очень малый угол, она сразу же пересечёт прямую $a$. Попробуй это на схеме справа — перетаскивай оранжевую точку, поворачивая тестовую прямую вокруг $M$, и смотри, при каком угле она перестаёт пересекать $a$.

Доказать это утверждение (пятый постулат Евклида) пытались многие математики, но лишь в XIX веке русский математик Н. И. Лобачевский окончательно показал: единственность параллельной прямой нельзя вывести из остальных аксиом Евклида — она сама является аксиомой.

Аксиома параллельных прямых. Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

      💡 Из жизни: представь, что ты кладёшь один рельс железной дороги и
      хочешь проложить рядом второй так, чтобы поезд шёл ровно, а рельсы никогда не сошлись и
      не разошлись. Направление для второго рельса только одно — любое другое, даже чуть-чуть
      повёрнутое, рано или поздно пересечёт первый рельс. Это и есть аксиома параллельных на
      практике.
    

Следствия из аксиомы параллельных

Утверждения, которые выводятся напрямую из аксиомы, называются следствиями.

10. Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую

1

Пусть $a \parallel b$, и прямая $c$ пересекает прямую $a$ в точке $M$. Допустим, что $c$ не пересекает $b$ — тогда $c \parallel b$.

2

Но тогда через точку $M$ проходили бы две прямые ($a$ и $c$), параллельные $b$ — а это противоречит аксиоме параллельных. Значит, $c$ пересекает и $b$.

20. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны между собой

1

Пусть $a \parallel c$ и $b \parallel c$. Допустим, что $a$ и $b$ не параллельны, т. е. пересекаются в некоторой точке $M$.

2

Тогда через точку $M$ проходят две прямые ($a$ и $b$), параллельные $c$ — снова противоречие аксиоме параллельных. Значит, предположение неверно, и $a \parallel b$.

29. Теоремы об углах, образованных параллельными прямыми и секущей

В §1 мы доказывали признаки параллельности: если выполнено условие про углы (накрест лежащие равны, соответственные равны, сумма односторонних $= 180°$), то прямые параллельны. Теперь докажем обратные теоремы: если прямые уже параллельны, то эти равенства углов выполняются всегда, для любой секущей. На схеме справа переключи вкладку «Углы при секущей» и покрути секущую — прямые $a$ и $b$ там всегда параллельны, и равенство углов не нарушается ни при каком наклоне секущей.

Теорема 1. Накрест лежащие углы

Теорema. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны.

Доказательство (методом от противного)

Пусть параллельные прямые $a$ и $b$ пересечены секущей в точках $A$ (на $a$) и $B$ (на $b$). Докажем, что накрест лежащие углы $\angle 3$ и $\angle 5$ равны.

Замечание. Такой способ рассуждений называется методом доказательства от противного: мы предположили противоположное тому, что нужно доказать, и путём рассуждений пришли к противоречию с аксиомой. Значит, предположение неверно, а исходное утверждение верно. Этим же методом доказаны и следствия $1°$, $2°$ выше.

Следствие о перпендикулярности

Следствие. Если прямая перпендикулярна к одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и к другой.

1

Пусть $a \parallel b$ и $c \perp a$, т. е. $\angle 1 = 90°$.

2

Прямая $c$ пересекает $a$, значит (по следствию $1°$) она пересекает и $b$.

3

При пересечении $a$ и $b$ секущей $c$ образуются равные накрест лежащие углы $\angle 1 = \angle 2$ (по Теореме 1). Так как $\angle 1 = 90°$, то и $\angle 2 = 90°$, т. е. $c \perp b$.

Теорема 2. Соответственные углы

Теорема. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.

1

Докажем, что соответственные углы $\angle 3$ и $\angle 7$ равны.

2

Так как $a \parallel b$, накрест лежащие углы $\angle 3$ и $\angle 5$ равны (Теорема 1).

3

Углы $\angle 5$ и $\angle 7$ — вертикальные (в точке $B$), поэтому $\angle 5 = \angle 7$. Из $\angle 3 = \angle 5$ и $\angle 5 = \angle 7$ следует $\angle 3 = \angle 7$.

Теорема 3. Сумма односторонних углов

Теорема. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма односторонних углов равна $180°$.

1

Докажем, что $\angle 4 + \angle 5 = 180°$.

2

Так как $a \parallel b$, соответственные углы $\angle 4$ и $\angle 8$ равны (Теорема 2).

3

Углы $\angle 8$ и $\angle 5$ — смежные (на прямой $b$), поэтому $\angle 8 + \angle 5 = 180°$. Из $\angle 4 = \angle 8$ следует $\angle 4 + \angle 5 = 180°$.

⚠️ Частая ошибка: из верной теоремы не всегда следует верное обратное утверждение. Например, вертикальные углы всегда равны — но если два угла равны, это не значит, что они вертикальные. Так же и здесь: мы доказали, что если $a \parallel b$, то накрест лежащие (соответственные, односторонние) углы подчиняются своим равенствам — но каждое такое равенство доказывается отдельно, а не «раз одно верно, значит и всё остальное автоматически верно без доказательства».

🧠 Запомни:

Аксиома параллельных: через точку вне прямой проходит только одна прямая, параллельная данной — это нельзя доказать, это исходное положение геометрии.
Следствия аксиомы: секущая одной из параллельных прямых пересекает и другую; две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой.
Если $a \parallel b$, то для любой секущей: накрест лежащие углы равны, соответственные углы равны, сумма односторонних углов равна $180°$ — это обратные теоремы к признакам параллельности из §1.
Прямая, перпендикулярная одной из параллельных, перпендикулярна и другой.