Возьми в руки любой треугольник — хоть нарисованный, хоть вырезанный из бумаги. Кажется,
что углы у него могут быть любыми: острыми, тупыми, узкими, широкими. Но есть жёсткое
правило, которому подчиняется любой треугольник без исключения.
Теорема. Сумма углов треугольника равна $180°$.
💡 Из жизни: оторви от бумажного треугольника три уголка и приложи их
вершинами друг к другу, стороны к сторонам. Все три угла сложатся ровно в один
развёрнутый угол — прямую линию. Это старый школьный фокус, который на самом деле —
наглядное доказательство теоремы: $\angle A + \angle B + \angle C = 180°$.
Попробуй сам на схеме справа — перетаскивай любую из вершин $A$, $B$, $C$ треугольника.
Форма меняется, углы меняются, но
сумма всех трёх углов всегда остаётся $180°$.
Доказательство
Рассмотрим произвольный треугольник $ABC$ и докажем, что
$\angle A + \angle B + \angle C = 180°$.
1
Проведём через вершину $B$ прямую $a$, параллельную стороне
$AC$.
2
Прямая $a$ и сторона $AC$ параллельны, а секущая $AB$ пересекает обе. Значит,
угол между $a$ и лучом $BA$ (со стороны $A$) и угол $\angle A$ — накрест лежащие,
поэтому они равны.
3
Аналогично, секущая $CB$ пересекает параллельные $a$ и $AC$: угол между $a$ и
лучом $BC$ (со стороны $C$) равен $\angle C$ — снова накрест лежащие углы.
4
Но три угла на прямой $a$ при вершине $B$ (угол «как $\angle A$» + сам
$\angle B$ + угол «как $\angle C$») в сумме образуют развёрнутый угол,
то есть $180°$.
5
Заменив эти два крайних угла на равные им $\angle A$ и $\angle C$, получаем
$\angle A + \angle B + \angle C = 180°$. Что и требовалось доказать.
Внешний угол треугольника
Внешним углом треугольника называется угол, смежный с каким-нибудь
углом этого треугольника. Например, если продлить сторону $AC$ за вершину $C$, угол
между этим продолжением и стороной $CB$ — это
внешний угол при вершине $C$.
Теорема о внешнем угле. Внешний угол треугольника равен сумме двух
углов треугольника, не смежных с ним.
1
Внешний угол $\angle_{доп}$ при вершине $C$ смежен с $\angle C$, поэтому
$\angle_{доп} + \angle C = 180°$.
2
По теореме о сумме углов $\angle A + \angle B + \angle C = 180°$. Сравнивая оба
равенства, получаем $\angle_{доп} = \angle A + \angle B$.
32. Остроугольный, прямоугольный и тупоугольный треугольники
Из теоремы о сумме углов следует важное наблюдение: если в треугольнике один угол
прямой или тупой, то сумма двух оставшихся не превосходит $90°$ — а значит, каждый из
них обязательно острый. Поэтому в любом треугольнике либо все три угла
острые, либо два острых, а третий — прямой или тупой. Двух
тупых или двух прямых углов в треугольнике быть не может.
Если все три угла треугольника острые — треугольник называется
остроугольным. Если один из углов тупой — треугольник
тупоугольный. Если один из углов прямой — треугольник
прямоугольный. Сторона прямоугольного треугольника, лежащая против
прямого угла, называется гипотенузой, а две другие стороны —
катетами.
Перейди на вкладку «Виды треугольников»
на схеме справа и потаскай вершины — рядом с каждым углом появится его тип, а внизу —
общая классификация треугольника.
⚠️ Частая ошибка: внешний угол при вершине $C$ — это не
сам угол $C$, а угол, смежный с ним ($\angle_{доп} + \angle C = 180°$).
Некоторые ученики также путают формулу и складывают в неё все три угла треугольника —
но внешний угол равен сумме только двух углов, не смежных с ним, то
есть без учёта угла при той же вершине.
🧠 Запомни:
Сумма углов любого треугольника — всегда $180°$, независимо от
формы.
Доказательство — через прямую, проведённую через одну из вершин параллельно
противоположной стороне, и накрест лежащие углы.
Внешний угол треугольника равен сумме двух углов, не смежных
с ним.
В треугольнике либо все углы острые, либо два острых и один прямой/тупой —
отсюда деление на остроугольный, прямоugolный и
тупоугольный треугольники. В прямоугольном — гипотенуза (против
прямого угла) и два катета.