§2. Соотношения между сторонами и углами треугольника
33. Теорема о соотношениях между сторонами и углами треугольника
Представь треугольную косынку с явно разными сторонами. Интуитивно понятно: самая
«растянутая» сторона всегда лежит напротив самого «широкого» раскрытия — самого
большого угла. Это не просто ощущение, а точная теорема.
Теорема. В треугольнике: 1) против большей стороны лежит больший угол;
2) обратно, против большего угла лежит большая сторона.
💡 Из жизни: открой ножницы или циркуль не полностью, а слегка — угол
между «ножками» маленький, и расстояние между их концами тоже небольшое. Раскрой шире —
и угол увеличится, и расстояние между концами вырастет вместе с ним. Сторона и
противолежащий угол всегда растут и уменьшаются согласованно.
Перетаскивай вершины треугольника $A$, $B$, $C$
на схеме справа — программа сама определяет, какая из сторон $AB$ и $AC$ больше,
и подсвечивает угол напротив неё.
Доказательство
Пусть, для определённости, сторона $AB$ больше стороны $AC$ (если наоборот —
рассуждение симметрично). Докажем, что $\angle C > \angle B$.
1
Отложим на стороне $AB$ отрезок $AD$, равный стороне $AC$. Так как $AD < AB$,
точка $D$ лежит между $A$ и $B$.
2
Угол $1 = \angle ACD$ — часть полного угла $C$ (угол $C$ разбит отрезком $CD$
на $\angle ACD$ и $\angle DCB$). Значит, $\angle C > \angle 1$.
3
Треугольник $ADC$ равнобедренный ($AD = AC$), поэтому углы при основании $DC$
равны: $\angle 1 = \angle ADC$.
4
Угол $2 = \angle BDC$ смежен с $\angle ADC$ (точки $A$, $D$, $B$ лежат на одной
прямой), значит $\angle 2$ — внешний угол треугольника $BDC$ при вершине $D$.
Внешний угол больше любого несмежного с ним внутреннего угла, поэтому
$\angle 2 > \angle B$.
5
Собираем цепочку: $\angle C > \angle 1$, $\angle 1 = \angle 2$, $\angle 2 > \angle B$.
Отсюда $\angle C > \angle B$. Что и требовалось доказать.
Обратное утверждение (2) доказывается от противного: если бы было $AB = AC$ или
$AB < AC$, то по уже доказанной первой части получилось бы $\angle C = \angle B$ или
$\angle B > \angle C$ — а это противоречит условию $\angle C > \angle B$. Значит,
$AB > AC$.
Следствие 1. Гипотенуза больше катета
В прямоугольном треугольнике гипотенуза лежит против прямого угла, а катет — против
острого угла. Прямой угол больше острого, значит и гипотенуза больше катета.
Следствие 2. Признак равнобедренного треугольника
Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный.
1
Пусть в треугольнике два угла равны. Если бы стороны, лежащие против этих углов,
были не равны, то по уже доказанной теореме угол напротив большей стороны был бы
больше — а это противоречит условию равенства углов.
2
Значит, стороны, лежащие против равных углов, тоже равны — а треугольник с двумя
равными сторонами и есть равнобедренный.
34. Неравенство треугольника
Кратчайший путь между двумя точками — прямая. Поэтому, если идти из точки $A$ в точку
$B$ не напрямую, а через какую-то третью точку $C$, путь окажется длиннее прямого
маршрута. Это и есть неравенство треугольника — знакомая идея из повседневной жизни,
только строго доказанная.
Теорема. Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.
💡 Из жизни: курьер, развозящий заказы, всегда едет по прямой между
двумя точками, если может — крюк через третий адрес неизбежно длиннее прямого пути.
Треугольник маршрутов $A \to C \to B$ всегда «длиннее», чем отрезок $AB$.
На схеме справа переключись на вкладку
«Неравенство» — сторона $AC$ продлевается
за точку $C$ на отрезок, равный $CB$, и наглядно видно, почему $AB$ всегда короче суммы
$AC + CB$.
Доказательство
Рассмотрим произвольный треугольник $ABC$ и докажем, что $AB < AC + CB$.
1
Отложим на продолжении стороны $AC$ за точку $C$ отрезок $CD$, равный стороне
$CB$. Тогда $AD = AC + CD = AC + CB$.
2
Треугольник $BCD$ равнобедренный ($CB = CD$), поэтому его углы при основании
$BD$ равны: $\angle DBC = \angle BDC$.
3
Угол $ABD$ состоит из угла $ABC$ и угла $DBC$, значит $\angle ABD > \angle DBC$.
А так как точка $C$ лежит на отрезке $AD$, угол $BDC$ — это тот же угол, что и
$\angle ADB$. Значит, $\angle ABD > \angle ADB$.
4
По уже доказанной теореме — против большего угла лежит большая сторона. В
треугольнике $ABD$ угол $ABD$ больше угла $ADB$, значит $AD > AB$. Но
$AD = AC + CB$, поэтому $AB < AC + CB$. Теорема доказана.
Следствие. Для любых трёх точек $A$, $B$ и $C$, не лежащих на одной
прямой, справедливы неравенства:
$$AB < AC + CB, \quad AC < AB + BC, \quad BC < BA + AC.$$
Каждое из них называется неравенством треугольника.
⚠️ Частая ошибка: ученики иногда проверяют существование треугольника
только по одной комбинации сторон (например, только $AB < AC + BC$) и забывают, что
неравенство должно выполняться для всех трёх сторон одновременно —
достаточно проверить его для наибольшей стороны: если она меньше суммы двух других, то
треугольник существует. И ещё: неравенство строгое — если сторона в
точности равна сумме двух других, треугольник вырождается в отрезок (точки лежат на
одной прямой), а не образует настоящий треугольник.
🧠 Запомни:
В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и
наоборот — против большего угла лежит большая сторона.
Следствие 1: в прямоугольном треугольнике гипотенуза (против
прямого угла) всегда больше любого катета (против острого угла).
Следствие 2 (признак равнобедренного треугольника): если два угла
треугольника равны — треугольник равнобедренный.
Неравенство треугольника: каждая сторона меньше суммы двух других
— $AB < AC + CB$ и аналогично для двух остальных сторон.