35. Некоторые свойства прямоугольных треугольников
Определение. В прямоугольном треугольнике сторону, лежащую против
прямого угла, называют гипотенузой, а две другие стороны —
катетами.
Свойство 1. Сумма острых углов равна 90°
Сумма всех углов треугольника равна $180°$, а прямой угол равен $90°$. Значит, на
два оставшихся острых угла остаётся ровно $180° - 90° = 90°$. Проверь это на
схеме справа — перетаскивай точки $A$ и
$B$, углы будут меняться, но их сумма всегда останется $90°$.
✓
$\angle A + \angle C + \angle B = 180°$, а $\angle C = 90°$, значит
$\angle A + \angle B = 180° - 90° = 90°$.
Свойство 2. Катет против угла в 30°
Теорема. Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в
$30°$, равен половине гипотенузы.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$, у которого
$\angle B = 30°$ (тогда $\angle A = 60°$). Докажем, что $CA = \dfrac{1}{2}AB$.
Переключись на вкладку
«Катет против 30°» справа — тяни
точку $A$, угол $B$ всегда останется $30°$.
Доказательство
1
Отметим на продолжении катета $CA$ за точку $C$ точку $D$ так, что
$CD = CA$ — это отражение точки $A$ относительно катета $CB$.
2
Треугольники $ABC$ и $DBC$ равны по двум катетам ($CB$ — общий, $CA = CD$,
$\angle C = \angle C = 90°$). Значит, $BD = BA$, $\angle DBC = \angle ABC = 30°$,
$\angle BDC = \angle BAC = 60°$.
3
Угол $ABD$ состоит из двух равных частей: $\angle ABD = \angle ABC + \angle CBD
= 30° + 30° = 60°$.
4
Треугольник $ABD$ равнобедренный ($BD = BA$) с углом при вершине $B$, равным
$60°$ — значит, он равносторонний: $AD = AB = BD$.
5
Но $AD = CA + CD = 2 \cdot CA$ (точка $C$ — середина $AD$). Значит,
$2 \cdot CA = AB$, откуда $CA = \dfrac{1}{2}AB$. Что и требовалось
доказать.
Обратная теорема. Если катет прямоугольного треугольника равен
половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен $30°$.
Доказывается тем же построением «в обратную сторону»: если $CA = \dfrac{1}{2}AB$,
треугольник $ABD$ окажется равносторонним (все стороны равны $AB$), значит
$\angle ABD = 60°$, а так как $BD$ делит его на два равных угла, $\angle ABC = 30°$.
💡 Из жизни: приставная лестница касается стены в точке $B$ под углом
$30°$ к самой стене ($\angle B = 30°$). Тогда основание лестницы — катет $CA$,
расстояние от стены до её нижнего конца — всегда равно ровно половине длины самой
лестницы (гипотенузы $AB$). Не нужна рулетка, чтобы прикинуть, докуда достанет
лестница: раздели её длину пополам.
⚠️ Частая ошибка: ученики иногда путают, какой именно катет лежит
против угла в $30°$, и делят пополам не ту сторону (например, берут половину другого
катета вместо половины гипотенузы). Запомни: правило работает только для
катета, гипотенузы и угла ровно в $30°$ — если угол другой, вывод не
применим.
В прямоугольном треугольнике угол между катетами всегда прямой, а любые два прямых
угла равны между собой. Поэтому уже известные признаки равенства треугольников
упрощаются для прямоугольных треугольников — часто достаточно двух элементов вместо
трёх.
Признак 1. По двум катетам
Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого,
то такие треугольники равны.
Это прямое следствие первого признака (по двум сторонам и углу между ними) — угол между
катетами уже известен и равен $90°$ у обоих треугольников. Смотри вкладку
«Катеты» справа.
Признак 2. По катету и прилежащему острому углу
Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника
соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого, то такие
треугольники равны.
Следствие второго признака (по стороне и двум прилежащим углам) — один из прилежащих
углов уже прямой у обоих треугольников. Вкладка
«Катет-угол».
Признак 3. По гипотенузе и острому углу
Теорема. Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного
треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то такие
треугольники равны.
По свойству 1 сумма острых углов равна
$90°$ в обоих треугольниках — значит, если один острый угол равен, то и второй острый
угол тоже равен. Получаем равенство по второму признаку: сторона (гипотенуза) и два
прилежащих к ней угла. Вкладка
«Гипотенуза-угол».
Признак 4. По гипотенузе и катету
Теорема. Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника
соответственно равны гипотенузе и катету другого, то такие треугольники равны.
Этот признак — единственный из четырёх, который нельзя свести напрямую к обычным
признакам равенства треугольников, и доказывается отдельно наложением. Вкладка
«Гипотенуза-катет».
Доказательство (признак 4)
Рассмотрим треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$, у которых углы $C$ и $C_1$ — прямые,
$AB = A_1B_1$, $CB = C_1B_1$. Докажем, что $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$.
1
Наложим треугольник $ABC$ на треугольник $A_1B_1C_1$ так, чтобы вершина $C$
совпала с $C_1$, а катеты $CA$ и $CB$ наложились на лучи $C_1A_1$ и $C_1B_1$ (углы
$C$ и $C_1$ прямые и равны).
2
Так как $CB = C_1B_1$, вершина $B$ совпадёт с вершиной $B_1$.
3
Допустим, что вершина $A$ попадёт в некоторую другую точку $A_2$ луча
$C_1A_1$, отличную от $A_1$. Тогда получится равнобедренный треугольник
$A_1B_1A_2$ (ведь $A_1B_1 = AB = A_2B_1$), в котором углы при основании не равны:
один острый, а другой — тупой как смежный с острым. Но у равнобедренного
треугольника углы при основании обязаны быть равны — противоречие.
4
Значит, вершина $A$ совпадает с $A_1$, и треугольники полностью совмещаются —
они равны. Теорема доказана.
🧠 Запомни:
В прямоугольном треугольнике катеты лежат при прямом угле, гипотенуза — против
него.
Свойство 1: сумма острых углов всегда $90°$.
Свойство 2 и обратное: катет против угла $30°$ равен половине
гипотенузы — и наоборот.
Четыре признака равенства: по двум катетам, по катету и
прилежащему острому углу, по гипотенузе и острому углу, по гипотенузе и катету.