7 класс · Соотношения между сторонами и углами треугольника

Построение треугольника по трём элементам

Расстояние от точки до прямой. Расстояние между параллельными прямыми

Расстоянием между двумя точками мы уже называли длину отрезка, соединяющего эти точки. Введём похожее понятие для точки и прямой.

Определение. Пусть отрезок $AH$ — перпендикуляр, проведённый из точки $A$ к прямой $a$. Длина этого перпендикуляра называется расстоянием от точки $A$ до прямой $a$. Любой другой отрезок $AM$ ($M$ — точка прямой $a$, отличная от $H$) называют наклонной, а отрезок $HM$ — её проекцией.

В прямоугольном треугольнике $AHM$ отрезок $AH$ — катет, а $AM$ — гипотенуза, а катет всегда меньше гипотенузы. Значит, перпендикуляр всегда короче любой наклонной, проведённой из той же точки к той же прямой. Проверь это на схеме справа — перетаскивай точку $M$ вдоль прямой, отрезок $AM$ будет меняться, но никогда не станет короче $AH$.

Теорема. Все точки каждой из двух параллельных прямых равноудалены от другой прямой.

Рассмотрим параллельные прямые $a$ и $b$, точку $A$ на прямой $a$ и перпендикуляр $AB$ к прямой $b$. Докажем, что расстояние от любой точки $X$ прямой $a$ до прямой $b$ тоже равно $AB$. Переключись на вкладку «Между прямыми» справа и потяни точку $X$.

Доказательство

1
Проведём из точки $X$ перпендикуляр $XY$ к прямой $b$. Так как $XY \perp b$, а $b \parallel a$, то и $XY \perp a$.
2
Треугольники $ABY$ и $YXA$ равны по гипотенузе и острому углу: $AY$ — общая гипотенуза, а углы $1$ и $2$ равны как накрест лежащие при пересечении параллельных прямых $a$ и $b$ секущей $AY$.
3
Из равенства треугольников следует $XY = AB$. Значит, любая точка $X$ прямой $a$ находится на расстоянии $AB$ от прямой $b$. Теорема доказана.
Определение. Расстояние от произвольной точки одной из параллельных прямых до другой прямой называется расстоянием между этими параллельными прямыми.
💡 Из жизни: на этом факте основан столярный инструмент — рейсмус. Металлическая игла закреплена на бруске на фиксированном расстоянии от его края. Если провести рейсмусом вдоль края доски, игла прочертит линию, параллельную краю, — ведь расстояние от любой точки этой линии до края всегда одно и то же.
⚠️ Частая ошибка: ученики иногда меряют «расстояние до прямой» любым отрезком до неё, не заботясь о том, перпендикулярен ли он прямой. Расстоянием считается только длина перпендикуляра — она наименьшая среди всех возможных отрезков от точки до прямой.

Построение треугольника по трём элементам

Три признака равенства треугольников показывают, что треугольник полностью определяется всего тремя своими элементами: либо двумя сторонами и углом между ними, либо стороной и двумя прилежащими углами, либо тремя сторонами. Значит, по этим трём элементам треугольник можно и построить циркулем и линейкой.

Задача 1. Построить треугольник по двум сторонам и углу между ними

Даны отрезки $P_1Q_1$, $P_2Q_2$ и угол $hk$. Нужно построить треугольник $ABC$, у которого $AB = P_1Q_1$, $AC = P_2Q_2$, а угол между ними $\angle A = hk$.

Ход построения — вкладка «Задача 1»

1
Проводим произвольную прямую $a$ и откладываем на ней циркулем отрезок $AB$, равный $P_1Q_1$.
2
При точке $A$ строим угол, равный данному углу $hk$ — получаем луч $AM$.
3
На луче $AM$ откладываем циркулем отрезок $AC$, равный $P_2Q_2$, и проводим отрезок $BC$.

Построенный треугольник $ABC$ — искомый: по построению $AB = P_1Q_1$, $AC = P_2Q_2$, $\angle A = hk$. Прямую $a$ и точку $A$ на ней можно выбрать где угодно, поэтому таких треугольников бесконечно много, но по первому признаку равенства все они равны друг другу — поэтому говорят, что задача имеет единственное решение.

Задача 2. Построить треугольник по стороне и двум прилежащим к ней углам

Даны отрезок $PQ$ и два угла $h_1k_1$, $h_2k_2$. Нужно построить треугольник $ABC$, у которого $AB = PQ$, $\angle A = h_1k_1$, $\angle B = h_2k_2$. Решается тем же приёмом, что и задача 1 — смотри вкладку «Задача 2» справа.

Ход построения

1
Откладываем отрезок $AB$, равный $PQ$.
2
При точке $A$ строим угол, равный $h_1k_1$ — луч $AM$.
3
При точке $B$ строим угол, равный $h_2k_2$ — луч $BN$ по другую сторону от $AB$. Лучи $AM$ и $BN$ пересекаются в точке $C$.

По второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам) все треугольники, построенные так для данных $PQ$, $h_1k_1$, $h_2k_2$, равны между собой — задача снова имеет единственное решение.

Задача 3. Построить треугольник по трём его сторонам

Даны отрезки $P_1Q_1$, $P_2Q_2$, $P_3Q_3$. Нужно построить треугольник $ABC$, в котором $AB = P_1Q_1$, $BC = P_2Q_2$, $CA = P_3Q_3$. Смотри вкладку «Задача 3» справа.

Ход построения

1
Откладываем отрезок $AB$, равный $P_1Q_1$.
2
Строим окружность с центром $A$ радиуса $P_3Q_3$ (будущая сторона $CA$).
3
Строим окружность с центром $B$ радиуса $P_2Q_2$ (будущая сторона $CB$). Точка $C$ — одна из точек пересечения окружностей. Проводим отрезки $AC$ и $BC$.

По построению $AB = P_1Q_1$, $BC = P_2Q_2$, $CA = P_3Q_3$ — стороны треугольника равны данным отрезкам.

⚠️ Задача 3 не всегда имеет решение! Во всяком треугольнике сумма любых двух сторон больше третьей стороны (неравенство треугольника). Поэтому если один из данных отрезков больше или равен сумме двух других, окружности просто не пересекутся — построить треугольник с такими сторонами нельзя. Посмотри на вкладке «Невозможно» справа, как это выглядит.
🧠 Запомни:
  • Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, он короче любой наклонной.
  • Все точки одной из параллельных прямых равноудалены от другой — это и есть расстояние между параллельными прямыми.
  • Треугольник строится циркулем и линейкой по любому из трёх наборов элементов: две стороны и угол между ними, сторона и два прилежащих угла, три стороны.
  • Задача «по трём сторонам» имеет решение только если выполняется неравенство треугольника: сумма двух сторон больше третьей.

Закрепи в практике

2 тренажёра по этому параграфу. Каждый вариант — с новыми числами; разбор после каждого ответа.

1 Расстояние от точки до прямой разминка · практика · модель · разбор 2 Построение треугольника по трём элементам разминка · практика · модель · разбор