§1. Многоугольники — Геометрия 8 класс

40. Многоугольник

Представь ломаную линию — несколько отрезков, соединённых по цепочке так, что соседние отрезки не лежат на одной прямой. Такую фигуру называют ломаной. Отрезки называются её звеньями, а точки, где они стыкуются, — вершинами. Сумма длин всех звеньев — это длина ломаной.

Если начало и конец ломаной совпадают, она называется замкнутой. Если у замкнутой ломаной несмежные звенья нигде не пересекаются, такая фигура называется многоугольником.

Определение. Замкнутая ломаная, у которой несмежные звенья не имеют общих точек, называется многоугольником. Её звенья называются сторонами многоугольника, а длина ломаной — его периметром.

Многоугольник с $n$ вершинами называется $n$-угольником — у него ровно $n$ сторон. Треугольник — это простейший многоугольник, $n = 3$. Попробуй перетащить вершины фигуры справа и переключать число сторон кнопками 3–8 — это и есть $n$-угольники разного вида.

Две вершины многоугольника, принадлежащие одной стороне, называются соседними. Отрезок, соединяющий любые две несоседние вершины, называется диагональю многоугольника. Посмотри на диагонали, проведённые из одной вершины — вкладка «Сумма углов» справа.

      💡 Из жизни: контур футбольного поля, дорожный знак «Стоп» (восьмиугольник),
      сотовая ячейка пчелиных сот (шестиугольник) — всё это многоугольники: замкнутые цепочки
      прямых сторон без самопересечений.
    

⚠️ Частая ошибка: не любая замкнутая ломаная — многоугольник. Если несмежные звенья пересекаются (фигура «восьмёркой»), это уже не многоугольник — нарушено требование «несмежные звенья не имеют общих точек».

41. Выпуклый многоугольник

Определение. Многоугольник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от каждой прямой, проходящей через две его соседние вершины (то есть от прямой, содержащей любую его сторону).

Перетаскивай вершины многоугольника справа — как только фигура «прогибается» и перестаёт лежать по одну сторону от продолжения одной из сторон, статус под фигурой меняется на «Невыпуклый».

Сумма углов выпуклого $n$-угольника

Возьмём выпуклый $n$-угольник $A_1A_2\ldots A_n$ и соединим диагоналями вершину $A_1$ со всеми остальными вершинами, кроме соседних с ней. Диагонали разобьют многоугольник ровно на $n - 2$ треугольника — переключись на вкладку «Сумма углов» справа и убедись в этом на многоугольниках с разным числом сторон.

Теорема. Сумма углов выпуклого $n$-угольника равна $(n - 2) \cdot 180°$.

Доказательство

Если при каждой вершине выпуклого многоугольника взять по одному внешнему углу (углу, смежному с углом многоугольника), сумма всех внешних углов равна $n \cdot 180° - (n-2)\cdot 180° = 360°$ — не зависит от числа сторон!

🧠 Запомни: сумма внешних углов выпуклого многоугольника — всегда $360°$, при любом $n$.

42. Четырёхугольник

Четырёхугольник — это $4$-угольник: у него четыре вершины, четыре стороны и две диагонали. Две несмежные стороны называются противоположными, две несоседние вершины — тоже противоположными.

Четырёхугольники, как и любые многоугольники, бывают выпуклые и невыпуклые. Каждая диагональ выпуклого четырёхугольника делит его на два треугольника; у невыпуклого четырёхугольника на два треугольника его делит только одна из диагоналей.

Так как сумма углов выпуклого $n$-угольника равна $(n-2)\cdot 180°$, для четырёхугольника ($n=4$) получаем сумму углов $360°$. Проверь на многоугольнике с $n=4$ справа.

🧠 Запомни:

Многоугольник — замкнутая ломаная без самопересечений несмежных звеньев.
Выпуклый многоугольник лежит по одну сторону от прямой, содержащей любую его сторону.
Сумма углов выпуклого $n$-угольника равна $(n-2)\cdot 180°$ — диагонали из одной вершины разбивают его на $n-2$ треугольника.
Сумма внешних углов выпуклого многоугольника всегда равна $360°$.
Четырёхугольник — частный случай $n$-угольника при $n=4$, сумма его углов $360°$.