Определение.Параллелограммом называется четырёхугольник,
у которого противоположные стороны попарно параллельны.
На параллелограмме $ABCD$ справа:
$AB \parallel CD$ и $AD \parallel BC$. Параллелограмм всегда выпуклый четырёхугольник.
💡 Из жизни: каждая плитка кафеля, лист бумаги А4, экран монитора — обычно
прямоугольники, а прямоугольник — это частный случай параллелограмма. А вот наклонная тень от
прямоугольного окна на полу в солнечный день — уже настоящий «косой» параллелограмм.
Свойства параллелограмма
Свойство 1. В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные
углы равны: $AB = CD$, $AD = BC$, $\angle A = \angle C$, $\angle B = \angle D$.
Перетащи вершины $B$ и $D$
справа — фигура остаётся параллелограммом при любой форме, а
стороны $AB$ и $CD$
(одна черточка) и
стороны $AD$ и $BC$
(две черточки) всегда остаются попарно равны, а
углы $A$ и $C$ —
всегда равны друг другу, как и
углы $B$ и $D$.
Доказательство свойства 1
1
Диагональ $AC$ разделяет параллелограмм $ABCD$ на два треугольника: $ABC$ и $ADC$.
2
Эти треугольники равны по стороне и двум прилежащим углам: $AC$ — общая сторона,
$\angle 1 = \angle 2$ и $\angle 3 = \angle 4$ как накрест лежащие углы при пересечении
секущей $AC$ параллельных прямых $AB, CD$ и $AD, BC$ соответственно.
3
Из равенства треугольников следует $AB = CD$, $AD = BC$ и $\angle B = \angle D$.
Смотри на точку пересечения диагоналей
$O$ справа — где бы ни находились вершины $B$ и $D$, отрезки
$AO$ и $OC$ (одна
черточка), а также
$BO$ и $OD$ (две
черточки) всегда равны между собой.
Доказательство свойства 2
1
Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$ параллелограмма $ABCD$.
2
Треугольники $AOB$ и $COD$ равны по стороне и двум прилежащим углам: $AB = CD$
(противоположные стороны параллелограмма), $\angle 1 = \angle 2$ и $\angle 3 = \angle 4$
как накрест лежащие углы при пересечении параллельных $AB, CD$ секущими $AC$ и $BD$.
3
Из равенства треугольников следует $AO = OC$ и $OB = OD$, что и требовалось доказать.
44. Признаки параллелограмма
Признак — это условие, которое достаточно проверить, чтобы утверждать: перед нами параллелограмм.
Признак 1. Если в четырёхугольнике две стороны равны и параллельны, то этот
четырёхугольник — параллелограмм.
Доказательство признака 1
1
Пусть в четырёхугольнике $ABCD$ стороны $AB \parallel CD$ и $AB = CD$. Проведём
диагональ $AC$, разделяющую его на треугольники $ABC$ и $CDA$.
2
Эти треугольники равны по двум сторонам и углу между ними: $AC$ — общая сторона,
$AB = CD$ по условию, $\angle 1 = \angle 2$ как накрест лежащие углы при пересечении
параллельных $AB, CD$ секущей $AC$. Значит, $\angle 3 = \angle 4$.
3
Углы $3$ и $4$ — накрест лежащие при пересечении прямых $AD$ и $BC$ секущей $AC$,
значит $AD \parallel BC$. Итак, обе пары противоположных сторон параллельны — $ABCD$
параллелограмм. Доказано.
Признак 2. Если в четырёхугольнике противоположные стороны попарно равны, то
этот четырёхугольник — параллелограмм.
Диагональ $AC$ делит четырёхугольник $ABCD$ на треугольники $ABC$ и $CDA$, равные по трём
сторонам ($AC$ — общая, $AB = CD$, $BC = DA$ по условию). Отсюда $\angle 1 = \angle 2$, значит
$AB \parallel CD$. А так как ещё и $AB = CD$ — по признаку 1 четырёхугольник $ABCD$ — параллелограмм.
Признак 3. Если в четырёхугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения
делятся пополам, то этот четырёхугольник — параллелограмм.
Треугольники $AOB$ и $COD$ равны по первому признаку равенства треугольников ($AO = OC$,
$BO = OD$ по условию, $\angle AOB = \angle COD$ как вертикальные), поэтому $AB = CD$ и
$\angle 1 = \angle 2$, откуда $AB \parallel CD$. Стороны $AB$ и $CD$ равны и параллельны —
значит, по признаку 1 четырёхугольник $ABCD$ — параллелограмм.
45. Трапеция
Определение.Трапецией называется четырёхугольник, у которого
две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны. Параллельные стороны трапеции
называются её основаниями, а две другие стороны — боковыми
сторонами.
Переключись на вкладку «Трапеция»
справа и потяни за верхние вершины — основания $BC$ и $AD$ всегда остаются параллельны,
а боковые стороны $AB$ и $CD$, наоборот, не параллельны друг другу.
Определение. Трапеция называется равнобедренной, если её
боковые стороны равны. Трапеция, один из углов которой прямой, называется
прямоугольной.
Посмотри вкладки «Равнобедренная»
(боковые стороны $AB = CD$, углы при каждом основании равны, диагонали равны) и
«Прямоугольная» (угол
при основании — прямой).
⚠️ Частая ошибка: путать трапецию с параллелограммом. У трапеции параллельна
только одна пара сторон (основания), боковые стороны не параллельны. У параллелограмма
параллельны обе пары противоположных сторон — это разные фигуры.
Теорема Фалеса
Теорема Фалеса. Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько
равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то
они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки.
Идея доказательства (случай, когда обе прямые параллельны): каждая пара точек на первой и
второй прямой вместе с проведёнными через них параллельными прямыми образует параллелограмм.
А раз $A_1A_2 = A_2A_3$ (по условию) и в параллелограммах противоположные стороны равны, то и
отрезки $B_1B_2 = A_1A_2$, $B_2B_3 = A_2A_3$ — тоже равны между собой.
💡 Из жизни: именно теорема Фалеса лежит в основе деления отрезка на $n$
равных частей циркулем и линейкой, а также разметки одинаковых пролётов у лестничных перил
или реек в жалюзи.
🧠 Запомни:
Параллелограмм: противоположные стороны параллельны (и поэтому равны), противоположные
углы равны, диагонали делятся пополам.
Признаки параллелограмма: 1) две стороны равны и параллельны; 2) противоположные стороны
попарно равны; 3) диагонали делятся точкой пересечения пополам.
Трапеция — только одна пара параллельных сторон (основания); равнобедренная — боковые
стороны равны (тогда равны и углы при основании, и диагонали); прямоугольная — один из
углов прямой.