8 класс · Четырёхугольники

Прямоугольник, ромб, квадрат

Прямоугольник

Определение. Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые.

Так как прямоугольник является параллелограммом, он обладает всеми его свойствами: в прямоугольнике $ABCD$ справа противоположные стороны равны, а диагонали точкой пересечения делятся пополам.

Особое свойство прямоугольника. Диагонали прямоугольника равны: $AC = BD$.

Тяни вершину $C$ справа — прямые углы сохраняются при любом изменении сторон, а диагонали $AC$ и $BD$ (отмечены одинаковой черточкой) всегда остаются равны между собой.

Доказательство: диагонали прямоугольника равны

Признак прямоугольника (обратное утверждение). Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм — прямоугольник.

Доказательство признака прямоугольника

💡 Из жизни: дверной проём, экран монитора, лист бумаги А4 — прямоугольники. Строители проверяют «прямоугольность» фундамента именно по признаку: если диагонали равны — углы обязательно прямые, даже без транспортира.

Ромб и квадрат

Определение. Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны.

Ромб — тоже параллелограмм, поэтому обладает всеми его свойствами. Но у ромба есть особое свойство диагоналей.

Особое свойство ромба. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам: $AC \perp BD$, $\angle BAC = \angle DAC$.

Переключись на вкладку «Ромб» и потяни вершины $A$ или $B$ — все четыре стороны остаются равны (черточки), а диагонали $AC$ и $BD$ всегда пересекаются под прямым углом и делят углы при каждой вершине пополам (одинаковые дуги).

Доказательство свойства диагоналей ромба

Определение. Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны.

Прямоугольник является параллелограммом, значит и квадрат — параллелограмм, у которого все стороны равны, т. е. квадрат — это ещё и ромб. Отсюда квадрат обладает всеми свойствами и прямоугольника, и ромба:

1. Все углы квадрата $ABCD$ справа прямые.
2. Диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и делят углы квадрата пополам.

⚠️ Частая ошибка: считать, что «ромб — это почти квадрат» или «любой прямоугольник — квадрат». Ромб — только про равные стороны, углы могут быть не прямыми. Прямоугольник — только про прямые углы, стороны могут быть разной длины. Квадратом фигура становится, только когда выполняются оба условия сразу.

Осевая и центральная симметрии

Определение. Две точки $A$ и $A_1$ называются симметричными относительно прямой $a$, если эта прямая проходит через середину отрезка $AA_1$ и перпендикулярна к нему. Каждая точка прямой $a$ считается симметричной самой себе.

Фигура называется симметричной относительно прямой $a$, если для каждой её точки симметричная ей точка тоже принадлежит этой фигуре. Прямая $a$ называется осью симметрии фигуры.

Переключись на вкладку «Симметрия» → «Прямоугольник»: прямоугольник и ромб, не являющиеся квадратами, имеют по две оси симметрии. У прямоугольника оси проходят через середины противоположных сторон, а у ромба — по самим диагоналям. А вот квадрат обладает уже четырьмя осями симметрии (обе «серединные» и обе диагонали сразу). У окружности осей симметрии бесконечно много, а у произвольного параллелограмма, отличного от прямоугольника и ромба, и у разностороннего треугольника — нет ни одной.

Определение. Две точки $A$ и $A_1$ называются симметричными относительно точки $O$, если $O$ — середина отрезка $AA_1$. Точка $O$ считается симметричной самой себе.

Фигура симметрична относительно точки $O$ (центра симметрии), если для каждой её точки симметричная ей относительно $O$ точка тоже принадлежит фигуре. Окружность и параллелограмм — примеры фигур с центром симметрии (у параллелограмма это точка пересечения диагоналей). Значит, у прямоугольника, ромба и квадрата — тоже есть центр симметрии, ведь все они являются параллелограммами. Прямая обладает бесконечным множеством центров симметрии — ими является любая её точка. А вот произвольный треугольник центра симметрии не имеет.

💡 Из жизни: оконная рама, шахматная доска, флаг с симметричным орнаментом — всё это объекты с осевой или центральной симметрией. С симметрией мы постоянно встречаемся в архитектуре (фасады зданий), на коврах и тканях, в деталях механизмов вроде зубчатых колёс.
🧠 Запомни:
  • Прямоугольник — параллелограмм с прямыми углами; его диагонали равны (и это ещё и признак: равные диагонали параллелограмма ⟹ прямоугольник).
  • Ромб — параллелограмм с равными сторонами; его диагонали перпендикулярны и делят углы пополам.
  • Квадрат = прямоугольник + ромб: все углы прямые, все стороны равны, диагонали равны, перпендикулярны, делятся пополам и делят углы пополам.
  • Осей симметрии: у прямоугольника и ромба — по 2, у квадрата — 4. Центр симметрии есть у всех троих (это точка пересечения диагоналей).

Закрепи в практике

2 тренажёра по этому параграфу. Каждый вариант — с новыми числами; разбор после каждого ответа.

1 Прямоугольник, ромб, квадрат разминка · практика · модель · разбор 2 Осевая и центральная симметрия разминка · практика · модель · разбор