Определение.Прямоугольником называется параллелограмм, у
которого все углы прямые.
Так как прямоугольник является параллелограммом, он обладает всеми его свойствами: в
прямоугольнике $ABCD$ справа
противоположные стороны равны, а диагонали точкой пересечения делятся пополам.
Особое свойство прямоугольника. Диагонали прямоугольника равны:
$AC = BD$.
Тяни вершину $C$ справа —
прямые углы сохраняются при любом изменении сторон, а
диагонали $AC$ и $BD$
(отмечены одинаковой черточкой) всегда остаются равны между собой.
Доказательство: диагонали прямоугольника равны
1
Рассмотрим прямоугольные треугольники $ACD$ и $DBA$: у обоих есть прямой угол
($\angle D$ и $\angle A$ соответственно).
2
Треугольники равны по двум катетам: $CD = BA$ (противоположные стороны прямоугольника),
$AD$ — общий катет.
3
Отсюда гипотенузы этих треугольников равны: $AC = BD$, что и требовалось доказать.
Признак прямоугольника (обратное утверждение). Если в параллелограмме
диагонали равны, то этот параллелограмм — прямоугольник.
Доказательство признака прямоугольника
1
Пусть в параллелограмме $ABCD$ диагонали $AC$ и $BD$ равны. Треугольники $ABD$ и $DCA$
равны по трём сторонам: $AB = DC$, $BD = CA$, $AD$ — общая сторона.
2
Отсюда $\angle A = \angle D$. Так как в параллелограмме противоположные углы равны,
то $\angle A = \angle C$ и $\angle B = \angle D$. Значит, $\angle A = \angle B = \angle C = \angle D$.
3
Параллелограмм — выпуклый четырёхугольник, поэтому
$\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360°$. Значит, каждый угол равен $90°$,
т. е. $ABCD$ — прямоугольник. Доказано.
💡 Из жизни: дверной проём, экран монитора, лист бумаги А4 — прямоугольники.
Строители проверяют «прямоугольность» фундамента именно по признаку: если диагонали равны —
углы обязательно прямые, даже без транспортира.
47. Ромб и квадрат
Определение.Ромбом называется параллелограмм, у которого
все стороны равны.
Ромб — тоже параллелограмм, поэтому обладает всеми его свойствами. Но у ромба есть особое
свойство диагоналей.
Особое свойство ромба. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его
углы пополам: $AC \perp BD$, $\angle BAC = \angle DAC$.
Переключись на вкладку «Ромб»
справа и потяни вершины $A$ или $B$ — все четыре стороны остаются равны (черточки), а
диагонали $AC$ и $BD$ всегда
пересекаются под прямым углом и делят углы при каждой вершине пополам (одинаковые дуги).
Доказательство свойства диагоналей ромба
1
По определению ромба все его стороны равны, в частности $AB = AD$, поэтому
треугольник $BAD$ — равнобедренный.
2
Так как ромб — параллелограмм, диагонали точкой $O$ пересечения делятся пополам,
значит $O$ — середина основания $BD$ треугольника $BAD$.
3
Отрезок $AO$ — медиана равнобедренного треугольника $BAD$, проведённая к основанию, а
значит, и высота, и биссектриса этого треугольника. Поэтому $AC \perp BD$ и
$\angle BAC = \angle DAC$. Доказано.
Определение.Квадратом называется прямоугольник, у которого
все стороны равны.
Прямоугольник является параллелограммом, значит и квадрат — параллелограмм, у которого все
стороны равны, т. е. квадрат — это ещё и ромб. Отсюда квадрат обладает
всеми свойствами и прямоугольника, и ромба:
1. Все углы квадрата $ABCD$
справа прямые.
2. Диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и
делят углы квадрата пополам.
⚠️ Частая ошибка: считать, что «ромб — это почти квадрат» или «любой
прямоугольник — квадрат». Ромб — только про равные стороны, углы могут быть не прямыми.
Прямоугольник — только про прямые углы, стороны могут быть разной длины. Квадратом фигура
становится, только когда выполняются оба условия сразу.
48. Осевая и центральная симметрии
Определение. Две точки $A$ и $A_1$ называются симметричными
относительно прямой $a$, если эта прямая проходит через середину отрезка $AA_1$ и
перпендикулярна к нему. Каждая точка прямой $a$ считается симметричной самой себе.
Фигура называется симметричной относительно прямой $a$, если для каждой её
точки симметричная ей точка тоже принадлежит этой фигуре. Прямая $a$ называется
осью симметрии фигуры.
Переключись на вкладку «Симметрия»
→ «Прямоугольник»: прямоугольник и ромб, не являющиеся квадратами, имеют
по две оси симметрии. У
прямоугольника оси проходят
через середины противоположных сторон, а у
ромба — по самим
диагоналям. А вот квадрат
обладает уже четырьмя осями симметрии (обе «серединные» и обе диагонали
сразу). У окружности осей симметрии бесконечно много, а у произвольного параллелограмма,
отличного от прямоугольника и ромба, и у разностороннего треугольника — нет ни одной.
Определение. Две точки $A$ и $A_1$ называются симметричными
относительно точки $O$, если $O$ — середина отрезка $AA_1$. Точка $O$ считается
симметричной самой себе.
Фигура симметрична относительно точки $O$ (центра симметрии), если для каждой
её точки симметричная ей относительно $O$ точка тоже принадлежит фигуре. Окружность и
параллелограмм — примеры фигур с центром симметрии (у параллелограмма это точка пересечения
диагоналей). Значит, у прямоугольника, ромба и квадрата — тоже есть центр симметрии, ведь все
они являются параллелограммами. Прямая обладает бесконечным множеством центров симметрии — ими
является любая её точка. А вот произвольный треугольник центра симметрии не имеет.
💡 Из жизни: оконная рама, шахматная доска, флаг с симметричным орнаментом —
всё это объекты с осевой или центральной симметрией. С симметрией мы постоянно встречаемся в
архитектуре (фасады зданий), на коврах и тканях, в деталях механизмов вроде зубчатых колёс.
🧠 Запомни:
Прямоугольник — параллелограмм с прямыми углами; его диагонали равны (и это ещё и
признак: равные диагонали параллелограмма ⟹ прямоугольник).
Ромб — параллелограмм с равными сторонами; его диагонали перпендикулярны и делят углы
пополам.
Квадрат = прямоугольник + ромб: все углы прямые, все стороны равны, диагонали равны,
перпендикулярны, делятся пополам и делят углы пополам.
Осей симметрии: у прямоугольника и ромба — по 2, у квадрата — 4. Центр симметрии есть у
всех троих (это точка пересечения диагоналей).