§1. Площадь многоугольника — Геометрия 8 класс

49. Понятие площади многоугольника

Смысл слов «площадь комнаты — 16 квадратных метров» или «площадь участка — 8 соток» понятен из повседневного опыта. Площадь многоугольника — это величина той части плоскости, которую занимает многоугольник.

Измеряют площади так же, как измеряют длины отрезков — сравнением с выбранной единицей. За единицу измерения площадей принимают квадрат, сторона которого равна единице измерения отрезков: если отрезки измеряют в сантиметрах, единица площади — квадрат со стороной 1 см, он называется квадратным сантиметром (см²). При выбранной единице площадь любого многоугольника выражается положительным числом — оно показывает, сколько раз единица измерения и её доли укладываются в этом многоугольнике.

Определение. Площадь многоугольника — величина части плоскости, занимаемой многоугольником, выраженная числом, которое показывает, сколько раз единица измерения площади (и её доли) укладывается в этом многоугольнике.

На практике так измерять неудобно — обычно измеряют лишь некоторые отрезки, связанные с многоугольником, а площадь вычисляют по формулам. Эти формулы опираются на основные свойства площадей:

1°. Равные многоугольники имеют равные площади.
2°. Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников (без общих внутренних точек), то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников.
3°. Площадь квадрата равна квадрату его стороны.

Если площади двух многоугольников равны, они называются равновеликими. Если один многоугольник можно разрезать на части и сложить из них другой — многоугольники называются равносоставленными. Любые равносоставленные многоугольники равновелики (это сразу следует из свойств 1° и 2°); а вот обратное утверждение — что любые два равновеликих многоугольника обязательно равносоставлены — уже настоящая теорема (теорема Бойяи — Гервина, доказана независимо венгром Ф. Бойяи в 1832 г. и немцем П. Гервином в 1833 г.).

      💡 Из жизни: два разных по форме земельных участка (квадратный и
      прямоугольный) могут стоить одинаково, если у них одна и та же площадь — форма и площадь
      это не одно и то же.
    

⚠️ Частая ошибка: путают «равные фигуры» и «равновеликие фигуры». Равные фигуры можно совместить наложением — они одинаковы по форме и размеру. Равновеликие фигуры могут выглядеть совершенно по-разному (треугольник и прямоугольник), у них важно только одно совпадение — площадь.

50*. Площадь квадрата

Свойство 3° коротко формулируется так: если сторона квадрата выражается числом $a$, то его площадь выражается числом $a^2$. Строгое доказательство этого факта непростое: сначала его проверяют для стороны вида $a = \dfrac{1}{n}$ (разбиением единичного квадрата на $n^2$ равных частей), затем — для любой конечной десятичной дроби, а после — для произвольного числа $a$ через сколь угодно точное приближение конечными десятичными дробями.

🧠 Запомни: этот пункт в учебнике отмечен звёздочкой — он необязателен для разбора, важен лишь итоговый результат: $S_{\text{квадрата}} = a^2$, где $a$ — сторона.

51. Площадь прямоугольника

Теорема. Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон: $$S = ab$$

Проверь формулу на прямоугольнике справа — перетаскивай угол и считай закрашенные клетки.

Доказательство

🧠 Запомни:

Площадь — величина части плоскости, занятой многоугольником, измеряемая в квадратных единицах.
Равные фигуры — равные площади; составленная фигура — сумма площадей частей; площадь квадрата — квадрат стороны.
Равновеликие ≠ равные: одинаковая площадь не значит одинаковую форму.
$S_{\text{прямоугольника}} = a \cdot b$ — произведение смежных сторон.