7 класс · Начальные геометрические сведения

Прямая и отрезок

Точки, прямые, отрезки

Через любые две точки можно провести прямую, и притом только одну. Это главное правило, на котором строится вся геометрия прямых линий.

📐 АксиомаЧерез любые две точки можно провести прямую, и притом только одну.

Отсюда следует важный факт: две различные прямые либо пересекаются ровно в одной точкеобщая точка пересечения, либо вовсе не имеют общих точек. Две прямые не могут иметь двух и более общих точек — иначе через эти две точки проходили бы две разные прямые, а это противоречит аксиоме выше.

💡 Из жизниПредставь два натянутых шнура на стройплощадке. Если они не идут параллельно, то пересекутся ровно в одной точке — потянуть их так, чтобы они касались в двух местах одновременно, попросту не получится, если оба шнура прямые.

Обозначения

Прямые обозначают малыми латинскими буквами: прямая $a$см. чертёж справа. Точки — большими латинскими буквами: $A$, $B$, $C$, ... Прямую с двумя отмеченными на ней точками иногда обозначают двумя буквами: $AB$ или $BA$.

Для записи принадлежности точки прямой используют специальный знак $\in$ («принадлежит») и $\notin$ («не принадлежит»):

  • точка $A$ лежит на прямой $a$ — пишут $A \in a$;
  • точка $B$ не лежит на прямой $a$ — пишут $B \notin a$.
Проверь сам. В интерактиве перетащи точки $A$потяни за точку и $B$потяни за точку — между ними всегда проходит ровно одна прямая. Подвигай точку $C$потяни, чтобы проверить и посмотри, когда индикатор показывает $C \in a$, а когда $C \notin a$.

Отрезок

📏 ОпределениеЧасть прямой, ограниченная двумя точками, называется отрезком. Точки, ограничивающие отрезок, называются его концами.

Отрезок с концами $A$ и $B$ обозначается $AB$синий отрезок на чертеже или $BA$. Отрезок $AB$ содержит сами точки $A$ и $B$, а также все точки прямой $AB$, лежащие между $A$ и $B$.

Провешивание прямой на местности

Задача. С помощью линейки нужно построить отрезок, который длиннее самой линейки.

Решение. Прикладываем линейку к бумаге, отмечаем точки $A$ и $B$ по её концам, а также точку $C$ — где-то между ними. Затем сдвигаем линейку так, чтобы её левый конец оказался ровно у точки $C$, и отмечаем новую точку $D$ у правого конца линейки. Отрезок $AD$ получается длиннее линейки, потому что мы «продлили» прямую за счёт общего участка $AC$.

💡 Из жизни — провешивание прямойТот же приём применяют на местности, и называется он провешивание прямой (от слова «веха»). Вехи — это шесты высотой примерно 2 метра, заострённые на конце. Их ставят в ряд так, чтобы каждая следующая веха закрывала собой две предыдущие, если смотреть от наблюдателя. Так на земле «продлевают» прямую линию намного дальше, чем позволяет любой инструмент. Этот способ применяют при рубке просек в лесу, прокладке шоссейных и железных дорог, линий электропередач.

Пример

Задача. Проведите прямую и отметьте на ней три точки. Сколько отрезков при этом получилось?

Шаг 0 из 4
1
Проводим прямую $a$ и отмечаем на ней три точки: $A$, $B$, $C$ — например, в таком порядке, что $B$ лежит между $A$ и $C$.
2
Каждая пара точек, лежащих на прямой, образует отрезок. Перебираем все пары: $A$ и $B$, $B$ и $C$, $A$ и $C$.
3
Получаем три отрезка: $AB$, $BC$ и $AC$. Заметь, что отрезок $AC$ целиком содержит точку $B$ и оба отрезка $AB$, $BC$ — он самый длинный из трёх.
✓
Ответ: получилось 3 отрезка — $AB$, $BC$, $AC$.
🧠 Запомни
  • Через любые две точки проходит ровно одна прямая.
  • Две прямые либо пересекаются в одной точке, либо вовсе не пересекаются.
  • Отрезок — часть прямой между двумя точками (концами); отрезок включает сами концы.
  • Принадлежность точки прямой записывают знаками $\in$ и $\notin$.

Закрепи в практике

Каждый вариант — с новыми числами; разбор после каждого ответа.

Перейти к практике