§2. Площади параллелограмма, треугольника и трапеции
52. Площадь параллелограмма
Условимся одну из сторон параллелограмма называть основанием, а перпендикуляр,
проведённый из любой точки противоположной стороны к прямой, содержащей основание, —
высотой параллелограмма.
Теорема. Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту:
$$S = a \cdot h$$
Проверь формулу на параллелограмме справа —
перетаскивай вершину $B$: меняется высота и наклон фигуры, но
высота $BH$ всегда остаётся перпендикуляром к прямой, содержащей основание $AD$.
Доказательство
Рассмотрим параллелограмм $ABCD$ с площадью $S$. Примем сторону $AD$ за основание и проведём
высоты $BH$ и $CK$.
1
Докажем, что $S = AD \cdot BH$.
2
Трапеция $ABCK$ составлена, с одной стороны, из параллелограмма $ABCD$ и треугольника
$DCK$.
3
С другой стороны, та же трапеция $ABCK$ составлена из прямоугольника $HBCK$ и
треугольника $ABH$.
4
Прямоугольные треугольники $DCK$ и $ABH$ равны по гипотенузе и острому углу: их
гипотенузы $AB$ и $CD$ равны как противоположные стороны параллелограмма, а углы 1 и 2
равны как соответственные при пересечении параллельных $AB$ и $CD$ секущей $AD$. Значит их
площади равны.
5
Следовательно, площади параллелограмма $ABCD$ и прямоугольника $HBCK$ тоже равны, то есть
площадь прямоугольника $HBCK$ равна $S$. По теореме о площади прямоугольника
$S = BC \cdot BH$, а так как $BC = AD$, то $S = AD \cdot BH$.
Теорема доказана.
💡 Из жизни: представь косой забор из одинаковых досок-параллелограммов — сколько
бы ты его ни «заваливал» вбок, площадь каждой доски не меняется, пока не меняется основание и
расстояние (высота) до противоположной стороны.
⚠️ Частая ошибка: путают высоту параллелограмма с его боковой стороной. Высота —
это всегда перпендикуляр к прямой, содержащей основание, а не длина наклонной стороны. Наклонная
сторона обычно длиннее высоты, и если подставить её вместо высоты в формулу, площадь получится
завышенной.
53. Площадь треугольника
Одну из сторон треугольника часто называют его основанием. Если основание
выбрано, под словом «высота» подразумевают высоту треугольника, проведённую к этому основанию.
Теорема. Площадь треугольника равна половине произведения его основания на
высоту:
$$S = \frac{1}{2} a \cdot h$$
Потяни за вершину $C$ треугольника справа — живая
формула считает площадь по основанию $AB$ и высоте $CH$. Переключи режим на
«Прямоугольный», чтобы увидеть частный случай —
следствие 1.
Доказательство
Пусть $S$ — площадь треугольника $ABC$. Примем сторону $AB$ за основание и проведём высоту $CH$.
1
Докажем, что $S = \dfrac{1}{2} AB \cdot CH$.
2
Достроим треугольник $ABC$ до параллелограмма $ABDC$.
3
Треугольники $ABC$ и $DCB$ равны по трём сторонам: $BC$ — общая сторона, $AB = CD$ и
$AC = BD$ как противоположные стороны параллелограмма $ABDC$. Значит их площади равны.
4
Следовательно, площадь $S$ треугольника $ABC$ равна половине площади параллелограмма
$ABDC$, то есть $S = \dfrac{1}{2} AB \cdot CH$. Теорема доказана.
🧠 Следствие 1. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения
его катетов (катеты сами служат основанием и высотой — угол между ними прямой).
🧠 Следствие 2. Если высоты двух треугольников равны, то их площади относятся
как основания.
Теорема об отношении площадей треугольников с равным углом
Следствие 2 используется для доказательства более общей теоремы.
Теорема. Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то
площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы:
$$\frac{S_{ABC}}{S_{A_1B_1C_1}} = \frac{AB \cdot AC}{A_1B_1 \cdot A_1C_1}$$
На схеме справа треугольник $A_1B_1C_1$ наложен на
$ABC$ так, что вершина $A_1$ совпала с $A$, а стороны легли на лучи $AB$ и $AC$ — тяни за
точки $B$, $C$, $B_1$, $C_1$ вдоль лучей и убедись, что отношение площадей всегда равно отношению
произведений сторон.
Доказательство
Пусть $S$ и $S_1$ — площади треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$, у которых $\angle A = \angle A_1$.
1
Докажем, что $\dfrac{S\mkern-2mu}{S_1} = \dfrac{AB \cdot AC}{A_1B_1 \cdot A_1C_1}$.
2
Наложим треугольник $A_1B_1C_1$ на треугольник $ABC$ так, чтобы вершина $A_1$ совпала с
вершиной $A$, а стороны $A_1B_1$ и $A_1C_1$ легли соответственно на лучи $AB$ и $AC$.
3
Треугольники $ABC$ и $AB_1C$ имеют общую высоту, проведённую из $C$, поэтому
$\dfrac{S_{ABC}}{S_{AB_1C}} = \dfrac{AB}{AB_1}$ (следствие 2).
4
Треугольники $AB_1C$ и $AB_1C_1$ тоже имеют общую высоту — из $B_1$, поэтому
$\dfrac{S_{AB_1C}}{S_{AB_1C_1}} = \dfrac{AC}{AC_1}$.
Для вычисления площади произвольного многоугольника его обычно разбивают на треугольники и
складывают их площади. Этим приёмом выведем формулу площади трапеции. Условимся называть
высотой трапеции перпендикуляр, проведённый из любой точки одного из оснований к
прямой, содержащей другое основание.
Теорема. Площадь трапеции равна произведению полусуммы её оснований на высоту:
$$S = \frac{a + b}{2} \cdot h$$
Перетаскивай вершины трапеции $ABCD$ справа —
верхнее основание $BC$ можно и сдвигать, и растягивать, нижнее $AD$ остаётся неизменным.
Доказательство
Рассмотрим трапецию $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, высотой $BH$ и площадью $S$.
1
Докажем, что $S = \dfrac{1}{2}(AD + BC) \cdot BH$.
2
Диагональ $BD$ разделяет трапецию на два треугольника $ABD$ и $BCD$, поэтому
$S = S_{ABD} + S_{BCD}$.
3
Примем $AD$ и $BH$ за основание и высоту треугольника $ABD$: $S_{ABD} = \dfrac{1}{2} AD
\cdot BH$. Примем $BC$ и $DH_1$ за основание и высоту треугольника $BCD$:
$S_{BCD} = \dfrac{1}{2} BC \cdot DH_1$.
4
Так как $DH_1 = BH$ (оба отрезка — высота трапеции), то $S_{BCD} = \dfrac{1}{2} BC \cdot
BH$. Значит $S = \dfrac{1}{2} AD \cdot BH + \dfrac{1}{2} BC \cdot BH =
\dfrac{1}{2}(AD + BC) \cdot BH$. Теорема доказана.
💡 Из жизни: сечение канавы или дорожной насыпи часто имеет форму трапеции —
строителю нужно быстро прикинуть объём вынутого грунта, а для этого сначала находят площадь такого
сечения по полусумме оснований и высоте.
Пример
1
Параллелограмм: основание $a = 15$ см, высота $h = 12$ см. $S = 15 \cdot 12 = 180$ см².
2
Треугольник: основание $a = 14$ см, высота $h = 6$ см. $S = \dfrac{1}{2} \cdot 14 \cdot 6 =
42$ см².
3
Трапеция: основания $21$ см и $17$ см, высота $7$ см. $S = \dfrac{21 + 17}{2} \cdot 7 =
133$ см².
🧠 Запомни:
Параллелограмм: $S = a \cdot h$ — основание умножить на высоту.
Треугольник: $S = \dfrac{1}{2} a \cdot h$; для прямоугольного — половина произведения
катетов.
Равные углы → площади относятся как произведения сторон, заключающих эти углы.