💡 Из жизни: строитель хочет проверить прямой ли угол в углу фундамента.
Он откладывает 3 метра по одной стене, 4 метра по другой и натягивает верёвку между
концами. Если она равна ровно 5 метрам — угол прямой. Этим приёмом египтяне пользовались
ещё 3000 лет назад, и такой треугольник — со сторонами 3, 4 и 5 — называют «египетским».
Пользуясь свойствами площадей многоугольников, можно установить замечательное соотношение
между гипотенузой и катетами прямоугольного треугольника. Эта теорема — важнейшая теорема
геометрии, и называют её в честь древнегреческого учёного Пифагора.
Справа — интерактивная фигура: прямоугольный треугольник с квадратами на каждой стороне
(вкладка «Квадраты на сторонах»). Перетащи вершины $A$ или $B$ — площади
синего и зелёного
квадратов пересчитаются в реальном времени, и их сумма всегда останется равна площади
жёлтого квадрата на гипотенузе.
Доказательство — метод «квадрат со стороной $(a+b)$»
Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами $a$, $b$ и гипотенузой $c$. Достроим
его до квадрата со стороной $a+b$ (вкладка «Доказательство» справа) и подсчитаем площадь
этого квадрата двумя способами.
1
Строим большой квадрат со стороной $(a+b)$. Его площадь:
$S = (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
2
Внутри размещаем 4 равных прямоугольных треугольника с катетами $a$ и $b$.
Площадь каждого: $\dfrac{1}{2}ab$. Итого: $4 \cdot \dfrac{1}{2}ab = 2ab$.
3
В середине остаётся квадрат со стороной $c$ (гипотенуза треугольника).
Его площадь: $c^2$.
Хотя теорема связана с именем Пифагора (VI в. до н. э.), само соотношение между сторонами
прямоугольного треугольника было известно ещё вавилонянам за 1200 лет до него — вероятно,
найденное на опыте, без доказательства. С тех пор найдено более ста разных доказательств
этой теоремы.
56. Теорема, обратная теореме Пифагора
Обратная теорема. Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме
квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный:
$$AB^2 = AC^2 + BC^2 \;\Rightarrow\; \angle C = 90°$$
Переключись на вкладку «Обратная теорема» справа, чтобы увидеть построение
вспомогательного прямоугольного треугольника
$A_1B_1C_1$, с помощью которого доказывается эта теорема.
Доказательство
Пусть в треугольнике $ABC$ выполняется $AB^2 = AC^2 + BC^2$. Докажем, что угол $C$ прямой.
1
Дан треугольник $ABC$, для которого известно только равенство
$AB^2 = AC^2 + BC^2$ — про угол $C$ заранее ничего не известно.
2
Построим отдельный прямоугольный треугольник $A_1B_1C_1$ с прямым углом при
$C_1$, у которого $A_1C_1 = AC$ и $B_1C_1 = BC$.
3
По теореме Пифагора для треугольника $A_1B_1C_1$:
$A_1B_1^2 = A_1C_1^2 + B_1C_1^2 = AC^2 + BC^2$. Но по условию
$AC^2 + BC^2 = AB^2$, значит $A_1B_1^2 = AB^2$, откуда $A_1B_1 = AB$.
4
Треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ равны по трём сторонам ($AC = A_1C_1$,
$BC = B_1C_1$, $AB = A_1B_1$), значит $\angle C = \angle C_1 = 90°$.
Теорема доказана.
По обратной теореме треугольник со сторонами 3, 4 и 5 прямоугольный:
$5^2 = 3^2 + 4^2$. Прямоугольными являются также треугольники со сторонами 5, 12, 13;
8, 15, 17 и 7, 24, 25.
Прямоугольные треугольники, у которых длины всех сторон выражаются целыми числами,
называются пифагоровыми треугольниками:
$a$
$b$
$c$
Проверка
3
4
5
$9 + 16 = 25$ ✓
5
12
13
$25 + 144 = 169$ ✓
8
15
17
$64 + 225 = 289$ ✓
7
24
25
$49 + 576 = 625$ ✓
6
8
10
$36 + 64 = 100$ ✓
Общая формула: $a = 2kmn$, $b = k(m^2-n^2)$, $c = k(m^2+n^2)$, где $m > n$ — любые
натуральные числа, $k$ — натуральное число. Треугольник 3–4–5 часто называют
египетским — древние египтяне строили прямой угол верёвкой с 12 узлами,
делящими её на части 3, 4 и 5.
Пример
1
Найти гипотенузу по катетам $a = 6$, $b = 8$: $c = \sqrt{6^2+8^2} = \sqrt{100} = 10$.
2
Выяснить, прямоугольный ли треугольник со сторонами 9, 12, 15:
$15^2 = 225$, а $9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225$. Равны — треугольник прямоугольный.
3
Выяснить, прямоугольный ли треугольник со сторонами 5, 6, 7:
$7^2 = 49$, а $5^2 + 6^2 = 25 + 36 = 61 \ne 49$. Треугольник не прямоугольный.
⚠️ Частая ошибка: применять $c^2 = a^2 + b^2$ к любому треугольнику, а не
только к прямоугольному. Формула работает исключительно при наличии прямого угла — иначе
подставлять «просто самую длинную сторону» вместо гипотенузы нельзя.
🧠 Запомни: гипотенуза — сторона напротив прямого угла, всегда
самая длинная сторона треугольника. $c^2 = a^2 + b^2$ — квадрат гипотенузы, а не сумма
самих сторон. Обратная теорема позволяет проверять прямой угол по длинам сторон —
именно этим пользовались египтяне.