Прежде чем говорить о подобных треугольниках, нужно понять, что значит, что отрезки
пропорциональны.
Определение. Отношением отрезков $AB$ и $CD$ называется отношение их длин, то
есть $\dfrac{AB}{CD}$. Отрезки $AB$ и $CD$ называются пропорциональными отрезкам $A_1B_1$ и
$C_1D_1$, если
$$\frac{AB}{CD} = \frac{A_1B_1}{C_1D_1}.$$
Например, отрезки $AB = 2$ см и $CD = 1$ см пропорциональны отрезкам $A_1B_1 = 3$ см и
$C_1D_1 = 1{,}5$ см, так как $\dfrac{2}{1} = \dfrac{3}{1{,}5} = 2$. Понятие пропорциональности
вводится и для большего числа отрезков: три отрезка $AB$, $CD$ и $EF$ пропорциональны трём
отрезкам $A_1B_1$, $C_1D_1$ и $E_1F_1$, если $\dfrac{AB}{A_1B_1} = \dfrac{CD}{C_1D_1} =
\dfrac{EF}{E_1F_1}$.
Потяни за концы отрезков справа — проверь, при
каком соотношении длин верхняя пара отрезков останется пропорциональна нижней.
59. Определение подобных треугольников
В повседневной жизни встречаются предметы одинаковой формы, но разных размеров: футбольный и
теннисный мячи, круглая тарелка и большое круглое блюдо. В геометрии фигуры одинаковой формы
принято называть подобными. Так, подобны любые два квадрата, любые два круга.
Пусть у двух треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$ углы соответственно равны: $\angle A = \angle A_1$,
$\angle B = \angle B_1$, $\angle C = \angle C_1$. В этом случае стороны $AB$ и $A_1B_1$, $BC$ и
$B_1C_1$, $CA$ и $C_1A_1$ называются сходственными.
Определение. Два треугольника называются подобными, если их
углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам
другого треугольника:
$$\angle A = \angle A_1,\ \angle B = \angle B_1,\ \angle C = \angle C_1,$$
$$\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{CA}{C_1A_1} = k.$$
Число $k$ называется коэффициентом подобия. Подобие треугольников $ABC$ и
$A_1B_1C_1$ обозначается так: $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$.
Оказывается, подобие треугольников можно установить, проверив только некоторые из этих равенств —
об этом пойдёт речь в следующем параграфе (признаки подобия). Потяни за
вершину $C$ треугольника справа и подвигай
ползунок $k$ — второй треугольник всегда сохраняет ту же форму, меняя только размер.
💡 Из жизни: увеличенная или уменьшенная фотография, карта города, чертёж в
масштабе — всё это подобные фигуры одного и того же оригинала. Коэффициент подобия $k$ здесь —
это масштаб.
⚠️ Частая ошибка: путают понятия «равны» и «подобны». Из равенства всех трёх
углов не следует, что стороны треугольников тоже равны — они лишь пропорциональны. Равные
треугольники — это частный случай подобных, когда $k = 1$.
60. Отношение площадей подобных треугольников
Теорема. Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату
коэффициента подобия:
$$\frac{S\mkern-2mu}{S_1} = k^2.$$
Переключись на вкладку «Площади» справа и
подвигай ползунок $k$ — отношение площадей растёт гораздо быстрее, чем отношение сторон.
Доказательство
Пусть треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ подобны с коэффициентом подобия $k$, а $S$ и $S_1$ —
их площади.
1
Докажем, что $\dfrac{S\mkern-2mu}{S_1} = k^2$.
2
Так как $\angle A = \angle A_1$, то по теореме об отношении площадей треугольников,
имеющих по равному углу: $\dfrac{S\mkern-2mu}{S_1} = \dfrac{AB \cdot AC}{A_1B_1 \cdot A_1C_1}$.
3
По определению подобия $\dfrac{AB}{A_1B_1} = k$ и $\dfrac{AC}{A_1C_1} = k$.
4
Значит $\dfrac{S\mkern-2mu}{S_1} = k \cdot k = k^2$. Теорема доказана.
Свойство биссектрисы треугольника
Теорема (задача 535). Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на
отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника:
$$\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}.$$
Пусть $AD$ — биссектриса треугольника $ABC$ ($\angle 1 = \angle 2$). Потяни за
вершину $C$ на вкладке «Биссектриса» справа —
отрезки $BD$ и $DC$ пересчитываются заново, но отношение
$BD{:}DC$ всегда равно $AB{:}AC$.
Доказательство
Проведём высоту $AH$, общую для треугольников $ABD$ и $ACD$.
1
Докажем, что $\dfrac{BD}{DC} = \dfrac{AB}{AC}$.
2
Треугольники $ABD$ и $ACD$ имеют общую высоту $AH$, поэтому
$\dfrac{S_{ABD}}{S_{ACD}} = \dfrac{BD}{DC}$.
3
С другой стороны, эти же треугольники имеют по равному углу ($\angle 1 = \angle 2$),
поэтому $\dfrac{S_{ABD}}{S_{ACD}} = \dfrac{AB \cdot AD}{AC \cdot AD} = \dfrac{AB}{AC}$.
4
Из двух равенств для отношения площадей получаем $\dfrac{BD}{DC} = \dfrac{AB}{AC}$.
Что и требовалось доказать.
Пример
1
Стороны данного треугольника равны $15$, $20$ и $30$ см. Найдём стороны треугольника,
подобного данному, с периметром $26$ см (задача 549).
2
Периметр данного треугольника: $15 + 20 + 30 = 65$ см. Коэффициент подобия равен отношению
периметров: $k = \dfrac{26}{65} = 0{,}4$.
3
Умножаем каждую сторону на $k$: $15 \cdot 0{,}4 = 6$ см, $20 \cdot 0{,}4 = 8$ см,
$30 \cdot 0{,}4 = 12$ см. Проверка: $6+8+12=26$ см.
🧠 Запомни:
Подобны — значит углы соответственно равны, а сходственные стороны пропорциональны с
коэффициентом $k$.
Равные треугольники — частный случай подобных при $k = 1$.
Отношение площадей подобных треугольников равно $k^2$, а не $k$.
Биссектриса делит противоположную сторону в отношении прилежащих сторон:
$\dfrac{BD}{DC} = \dfrac{AB}{AC}$.