Проверять подобие треугольников по определению неудобно: пришлось бы измерять все три угла и
все три стороны. К счастью, как и для равенства треугольников, существуют более простые
признаки — наборы условий, из которых подобие следует автоматически.
Теорема. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам
другого треугольника, то такие треугольники подобны:
$$\angle A = \angle A_1,\ \angle B = \angle B_1 \ \Rightarrow \ \triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1.$$
Переключись на вкладку «АА» справа и потяни за
вершину $C$ синего треугольника — второй, оранжевый треугольник построен только по двум равным
углам (его размер задан отдельно, независимо от синего), но форма у обоих всегда одна и та же.
💡 Из жизни: так древние египтяне (и Фалес) измеряли высоту пирамиды по длине
тени. Столб и пирамида в один и тот же момент времени образуют с солнечными лучами два
треугольника с равными углами (угол падения луча один и тот же, угол между землёй и предметом —
прямой). Зная всего два угла, можно быть уверенным, что треугольники подобны, и найти высоту
пирамиды через пропорцию — без изнурительных измерений всех сторон.
Доказательство
Пусть $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ — треугольники, у которых $\angle A = \angle A_1$,
$\angle B = \angle B_1$.
1
По теореме о сумме углов треугольника $\angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B$ и
$\angle C_1 = 180^\circ - \angle A_1 - \angle B_1$. Так как $\angle A = \angle A_1$ и
$\angle B = \angle B_1$, получаем $\angle C = \angle C_1$ — значит, у треугольников
равны все три угла.
2
Так как $\angle A = \angle A_1$, по теореме об отношении площадей треугольников с
равным углом: $\dfrac{S_{ABC}}{S_{A_1B_1C_1}} = \dfrac{AB \cdot AC}{A_1B_1 \cdot A_1C_1}$.
3
Аналогично, используя $\angle B = \angle B_1$ (и $\angle C = \angle C_1$), получаем ещё
одно такое же равенство: $\dfrac{S_{ABC}}{S_{A_1B_1C_1}} = \dfrac{BA \cdot BC}{B_1A_1 \cdot B_1C_1}$.
4
Сравнивая полученные равенства, находим $\dfrac{AB}{A_1B_1} = \dfrac{BC}{B_1C_1} =
\dfrac{CA}{C_1A_1}$. Вместе с равенством всех углов это и означает, что
$\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$. Теорема доказана.
62. Второй признак подобия (по двум сторонам и углу между ними)
Теорема. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам
другого треугольника, а углы, заключённые между этими сторонами, равны, то такие треугольники
подобны:
$$\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{AC}{A_1C_1},\ \angle A = \angle A_1 \ \Rightarrow \ \triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1.$$
На вкладке «СУС» справа потяни за вершину $C$
синего треугольника и подвигай ползунок $k$ — стороны $A_1B_1$ и $A_1C_1$ оранжевого треугольника
всегда получаются из $AB$ и $AC$ умножением на один и тот же коэффициент $k$, а угол при вершине
$A_1$ копирует угол при $A$. По этим двум условиям третья сторона и оставшиеся углы подстраиваются
сами — треугольники подобны.
Доказательство
Пусть $\dfrac{AB}{A_1B_1} = \dfrac{AC}{A_1C_1}$ и $\angle A = \angle A_1$.
1
Построим вспомогательный треугольник $ABC_2$: на стороне $AB$ отложим угол
$\angle 1 = \angle A_1$, а на стороне, соответствующей $A_1B_1$, — угол $\angle 2 = \angle B_1$,
так что стороны пересекутся в точке $C_2$.
2
У треугольника $ABC_2$ по построению два угла равны углам треугольника
$A_1B_1C_1$, поэтому по первому признаку $\triangle ABC_2 \sim \triangle A_1B_1C_1$, а
значит $\dfrac{AB}{A_1B_1} = \dfrac{AC_2}{A_1C_1}$.
3
По условию $\dfrac{AB}{A_1B_1} = \dfrac{AC}{A_1C_1}$. Сравнивая с предыдущим
равенством, получаем $AC_2 = AC$ — точка $C_2$ лежит там же, где и точка $C$.
4
Треугольники $ABC$ и $ABC_2$ имеют общую сторону $AB$, равные стороны $AC = AC_2$ и
равный угол между ними ($\angle A = \angle 1$), значит они равны. Но
$\triangle ABC_2 \sim \triangle A_1B_1C_1$, поэтому и $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$.
Теорема доказана.
63. Третий признак подобия (по трём сторонам)
Теорема. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам
другого треугольника, то такие треугольники подобны:
$$\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{CA}{C_1A_1} \ \Rightarrow \ \triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1.$$
На вкладке «ССС» справа потяни за вершину $C$ и
подвигай ползунок $k$ — все три стороны оранжевого треугольника масштабируются от синего одним и
тем же числом $k$. Здесь совсем не нужно ничего знать про углы: как только все три отношения
сторон совпали, углы автоматически оказываются равны (это видно по дугам,
которые появляются одинаковыми парами).
Построим, как и во втором признаке, вспомогательный треугольник $ABC_2$ с
$\angle A = \angle A_1$, $\angle B = \angle B_1$. По первому признаку
$\triangle ABC_2 \sim \triangle A_1B_1C_1$, поэтому $\dfrac{AB}{A_1B_1} =
\dfrac{BC_2}{B_1C_1} = \dfrac{C_2A}{C_1A_1}$.
2
Сравнивая эти равенства с данными пропорциями сторон $ABC$ и $A_1B_1C_1$, получаем
$BC_2 = BC$ и $C_2A = CA$ — треугольники $ABC$ и $ABC_2$ имеют по три равные стороны.
3
По третьему признаку равенства треугольников $\triangle ABC = \triangle ABC_2$, значит
их углы при вершине $A$ равны: $\angle A = \angle 1 = \angle A_1$.
4
Теперь у треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$ равен угол $A$, а стороны $AB, AC$
пропорциональны $A_1B_1, A_1C_1$ (дано) — по второму признаку
$\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$. Теорема доказана.
Пример (задача 560)
1
Даны треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$: $AB = 3$ см, $BC = 5$ см, $CA = 7$ см,
$A_1B_1 = 4{,}5$ см, $B_1C_1 = 7{,}5$ см, $C_1A_1 = 10{,}5$ см. Подобны ли они?
Все три отношения равны $\dfrac{2}{3}$. По третьему признаку подобия треугольники подобны,
$\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$ с коэффициентом подобия $k = \dfrac{2}{3}$.
⚠️ Частая ошибка: при составлении отношений сторон путают порядок соответствия
вершин. Если $\angle A = \angle A_1$ и $\angle B = \angle B_1$, то сходственные стороны —
это $AB$ и $A_1B_1$ (обе лежат между вершинами $A$ и $B$), а вовсе не $AB$ и $A_1C_1$.
Прежде чем писать пропорцию, всегда сверяйся, какие вершины отмечены как равные по условию.
🧠 Запомни: три способа доказать подобие треугольников, не проверяя все шесть
элементов сразу:
Первый (АА): $\angle A = \angle A_1$, $\angle B = \angle B_1$.
Второй (СУС): $\dfrac{AB}{A_1B_1} = \dfrac{AC}{A_1C_1}$ и
$\angle A = \angle A_1$.
Третий (ССС): $\dfrac{AB}{A_1B_1} = \dfrac{BC}{B_1C_1} = \dfrac{CA}{C_1A_1}$.