§3. Применение подобия к доказательству теорем и решению задач
64. Средняя линия треугольника
Определение. Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий
середины двух его сторон.
Теорема. Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна
половине этой стороны.
Переключись на вкладку «Средняя линия» справа и
потяни за вершины $B$ и $C$ — отрезок $MN$, соединяющий середины сторон $AB$ и $BC$, всегда
остаётся параллелен стороне $AC$ и вдвое короче её, какой бы ни была форма треугольника.
💡 Из жизни: если сфотографировать треугольную крышу дома и соединить середины
двух скатов, полученная линия всегда будет ровно вдвое короче конька — это не совпадение, а
прямое следствие теоремы о средней линии.
Доказательство
Пусть $MN$ — средняя линия треугольника $ABC$ ($M$ — середина $AB$,
$N$ — середина $BC$). Докажем, что $MN \parallel AC$ и $MN = \dfrac{1}{2}AC$.
1
Треугольники $BMN$ и $BAC$ подобны по второму признаку подобия: угол $B$ — общий,
и $\dfrac{BM}{BA} = \dfrac{BN}{BC} = \dfrac{1}{2}$ (так как $M$, $N$ — середины сторон).
2
Из подобия следует $\angle 1 = \angle 2$ (углы при $M$ и $A$). Эти углы — соответственные
при прямых $MN$ и $AC$ и секущей $AB$, значит $MN \parallel AC$.
3
Из того же подобия $\dfrac{MN}{AC} = \dfrac{1}{2}$, то есть
$MN = \dfrac{1}{2}AC$. Теорема доказана.
Задача 1. Точка пересечения медиан
Докажем, что медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану
в отношении $2:1$, считая от вершины.
На вкладке «Медианы» справа потяни за вершины
$B$ и $C$ — точка пересечения медиан $O$ всегда делит отрезки $AO$ и $BO$ ровно на две части
в отношении $2:1$ (это видно по числу чёрточек: два штриха против одного).
Решение
Пусть $O$ — точка пересечения медиан $AA_1$ и $BB_1$ треугольника
$ABC$ ($A_1$ — середина $BC$, $B_1$ — середина $AC$).
1
Проведём среднюю линию $A_1B_1$. По теореме о средней линии
$A_1B_1 \parallel AB$ и $A_1B_1 = \dfrac{1}{2}AB$.
2
Углы $1$ и $2$ (при $A$ и $A_1$), а также углы $3$ и $4$ (при $B$ и $B_1$) равны как
накрест лежащие при пересечении параллельных $AB$ и $A_1B_1$ секущими $AA_1$ и $BB_1$.
3
Значит, треугольники $AOB$ и $A_1OB_1$ подобны по двум углам, и
$\dfrac{AO}{A_1O} = \dfrac{BO}{B_1O} = \dfrac{AB}{A_1B_1} = 2$ (так как $AB = 2A_1B_1$).
4
Следовательно $AO = 2 \cdot A_1O$ и $BO = 2 \cdot B_1O$ — точка $O$ делит обе медианы
в отношении $2:1$, считая от вершины. Аналогично для третьей медианы — она проходит
через ту же точку $O$. Что и требовалось доказать.
65. Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике
Пусть $\triangle ABC$ — прямоугольный, с прямым углом $C$, а $CD$ — высота, проведённая к
гипотенузе $AB$.
Задача 2. Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого
угла, разделяет треугольник на два треугольника, подобных данному (и друг другу):
$\triangle ABC \sim \triangle ACD \sim \triangle CBD$.
На вкладке «Высота» справа точка $C$ движется
только по дуге окружности с диаметром $AB$ — так прямой угол при $C$ сохраняется автоматически.
Три подсвеченных треугольника ($ABC$, $ACD$, $CBD$) всегда подобны друг другу.
Определение. Отрезок $XY$ называется средним пропорциональным
(средним геометрическим) для отрезков $AB$ и $CD$, если $XY^2 = AB \cdot CD$.
$\triangle ABC \sim \triangle CBD$ по первому признаку: $\angle B$ — общий,
$\angle ACB = \angle BDC = 90^\circ$, откуда $\angle A = \angle BCD$.
3
Значит $\triangle ACD \sim \triangle CBD$ по первому признаку (прямой угол при $D$ у
обоих, $\angle A = \angle BCD$).
4
1°. Из $\triangle ACD \sim \triangle CBD$: $\dfrac{AD}{CD} = \dfrac{CD}{DB}$,
откуда $CD^2 = AD \cdot DB$ — высота есть среднее пропорциональное отрезков гипотенузы.
5
2°. Из $\triangle ABC \sim \triangle ACD$: $\dfrac{AB}{AC} = \dfrac{AC}{AD}$,
откуда $AC^2 = AB \cdot AD$. Аналогично $BC^2 = AB \cdot BD$ — катет есть среднее
пропорциональное гипотенузы и прилежащего к нему отрезка.
★
Пример (задача 578). Утверждение 2° сразу даёт теорему Пифагора:
складывая $AC^2 = AB \cdot AD$ и $BC^2 = AB \cdot BD$ почленно и учитывая $AD + BD = AB$,
получаем $AC^2 + BC^2 = AB(AD+BD) = AB^2$.
⚠️ Частая ошибка: для катета берут произведение $AD \cdot DB$ вместо
$AB \cdot AD$. Средним пропорциональным для катета служит вся гипотенуза и
прилежащий к катету отрезок, а не два отрезка гипотенузы между собой (это верно только для
самой высоты $CD$).
66. Практические приложения подобия треугольников
Метод подобия в задачах на построение состоит в том, что сначала по части
данных строят треугольник, подобный искомому, а затем достраивают его до нужного размера с
помощью оставшегося условия (например, задача 3 — построение по двум углам и биссектрисе
третьего угла).
Измерение высоты предмета
Чтобы измерить высоту столба $A_1C_1$, ставят шест $AC$ с вращающейся планкой и направляют
планку на вершину столба $A_1$; точка $B$ — там, где линия визирования пересекает землю.
Прямоугольные треугольники $A_1C_1B$ и $ACB$ подобны по первому признаку
($\angle C = \angle C_1 = 90^\circ$, угол $B$ — общий), откуда
$$A_1C_1 = \frac{AC \cdot BC_1}{BC}.$$
На вкладке «Измерения» справа потяни точку
$B$ (наблюдатель) и вершину шеста $A$ — вершина столба $A_1$ пересчитывается автоматически по
этой же формуле.
💡 Пример из учебника: если $BC = 2{,}1$ м, $BC_1 = 6{,}3$ м, $AC = 1{,}7$ м,
то $A_1C_1 = \dfrac{1{,}7 \cdot 6{,}3}{2{,}1} = 5{,}1$ м.
Измерение расстояния до недоступной точки
Чтобы найти расстояние $AB$ до недоступного пункта $B$, на местности измеряют доступный
отрезок $AC$ и углы $A$ и $C$, а на бумаге строят маленький подобный треугольник
$A_1B_1C_1$ с теми же углами. Так как $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$, то
$$AB = \frac{AC \cdot A_1B_1}{A_1C_1}.$$
★
Пример. $AC = 130$ м, $\angle A = 73^\circ$, $\angle C = 58^\circ$. На
бумаге строят $\triangle A_1B_1C_1$ с теми же углами и $A_1C_1 = 130$ мм — тогда измеренный
отрезок $A_1B_1 = 153$ мм сразу даёт $AB = 153$ м (масштаб $1:1000$).
67. О подобии произвольных фигур
Определение. Фигуры $F$ и $F_1$ называются подобными, если каждой точке
фигуры $F$ можно сопоставить точку фигуры $F_1$ так, что для любых точек $M$, $N$ фигуры $F$
и сопоставленных им точек $M_1$, $N_1$ фигуры $F_1$ выполняется $\dfrac{MN}{M_1N_1} = k$, где
$k$ — одно и то же число (коэффициент подобия) для всех точек.
Частный, но самый наглядный способ построить подобную фигуру — гомотетия
(центральное подобие): фиксируем точку $O$ и каждой точке $M$ фигуры $F$ сопоставляем точку
$M_1$ на луче $OM$ так, что $OM_1 = k \cdot OM$.
На вкладке «Гомотетия» справа подвигай центр
$O$ и ползунок $k$ — оранжевая фигура всегда подобна синей с коэффициентом $k$.
💡 Из жизни: проектор кинокадра на экран, увеличение фотографии, две
географические карты одного района в разных масштабах — всё это подобные фигуры с общим
коэффициентом подобия для всех точек сразу.
🧠 Запомни:
Средняя линия треугольника $\parallel$ третьей стороне и равна её половине.
Медианы делят друг друга в отношении $2:1$, считая от вершины.
Высота из прямого угла: $CD^2 = AD \cdot DB$; катет: $AC^2 = AB \cdot AD$, $BC^2 = AB \cdot BD$.
Измерения на местности сводятся к построению маленького подобного треугольника и
составлению пропорции.
Отношение площадей подобных многоугольников равно $k^2$ (как и для треугольников).