§4. Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника
68. Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника
Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$. Катет $BC$ лежит
против угла $A$ (противолежащий катет), а катет $AC$ примыкает к углу $A$
(прилежащий катет).
Определение.Синусом острого угла прямоугольного треугольника
называется отношение противолежащего катета к гипотенузе. Косинусом острого угла называется отношение прилежащего катета к гипотенузе. Тангенсом острого угла называется отношение противолежащего катета к
прилежащему катету.
Для треугольника $ABC$ (рис. 206 учебника):
$$\sin A = \frac{BC}{AB}, \qquad \cos A = \frac{AC}{AB}, \qquad \tan A = \frac{BC}{AC}.$$
Переключись на вкладку «Синус/косинус/тангенс» справа
и потяни вершины $A$ и $B$ — синий треугольник меняет форму, а рядом стоит оранжевый треугольник
$A_1B_1C_1$ с тем же острым углом при $A_1$, только другого размера (ползунок $k$
меняет его масштаб). Значения $\sin A$, $\cos A$, $\tan A$ у обоих треугольников совпадают —
размер треугольника не влияет на эти отношения, важен только сам угол.
💡 Из жизни: лестница, приставленная к стене под углом $60°$, «поднимается» на
одну и ту же долю своей длины независимо от того, короткая это стремянка или длинная пожарная
лестница — эта доля и есть $\sin 60°$.
Из формул синуса и косинуса сразу следует:
$$\tan A = \frac{\sin A}{\cos A}$$
— тангенс угла равен отношению синуса к косинусу этого угла.
Доказательство: sin, cos, tg зависят только от угла
Докажем, что если острый угол одного прямоугольного треугольника равен
острому углу другого прямоугольного треугольника, то их синусы равны, косинусы равны и
тангенсы равны.
1
Пусть $ABC$ и $A_1B_1C_1$ — два прямоугольных треугольника с прямыми углами $C$, $C_1$
и равными острыми углами $A = A_1$.
2
Треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ подобны по первому признаку подобия (по двум углам:
$\angle C = \angle C_1 = 90^\circ$ и $\angle A = \angle A_1$), поэтому
$\dfrac{AB}{A_1B_1} = \dfrac{BC}{B_1C_1} = \dfrac{AC}{A_1C_1}$.
3
Из равенства $\dfrac{AB}{A_1B_1} = \dfrac{BC}{B_1C_1}$ следует
$\dfrac{BC}{AB} = \dfrac{B_1C_1}{A_1B_1}$, то есть $\sin A = \sin A_1$.
4
Аналогично из тех же пропорций получаем $\cos A = \cos A_1$ и $\tan A = \tan A_1$.
Что и требовалось доказать.
Основное тригонометрическое тождество
Теорема. Для любого острого угла $A$ прямоугольного треугольника выполняется
равенство
$$\sin^2 A + \cos^2 A = 1.$$
На вкладке «Тождество» справа полоска внизу
всегда делится на две части — синюю ($\sin^2 A$) и зелёную ($\cos^2 A$) — так, что вместе они
заполняют её ровно целиком, какой бы угол $A$ ни был выбран.
Доказательство тождества
1
По определению $\sin A = \dfrac{BC}{AB}$ и $\cos A = \dfrac{AC}{AB}$, значит
$\sin^2 A = \dfrac{BC^2}{AB^2}$ и $\cos^2 A = \dfrac{AC^2}{AB^2}$.
2
Складывая: $\sin^2 A + \cos^2 A = \dfrac{BC^2}{AB^2} + \dfrac{AC^2}{AB^2} =
\dfrac{BC^2 + AC^2}{AB^2}$.
3
По теореме Пифагора $BC^2 + AC^2 = AB^2$, поэтому
$\sin^2 A + \cos^2 A = \dfrac{AB^2}{AB^2} = 1$. Тождество доказано.
69. Значения синуса, косинуса и тангенса для углов 30°, 45°, 60°
На вкладке «Углы 30°, 45°, 60°» справа кнопки
сразу выставляют треугольник в нужную форму.
Углы 30° и 60°
Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$, где $\angle A = 30°$,
$\angle B = 60°$.
Вывод значений для 30° и 60°
1
Катет, лежащий против угла в $30°$, равен половине гипотенузы (свойство прямоугольного
треугольника с углом $30°$): $BC = \dfrac{AB}{2}$.
2
Но $\dfrac{BC}{AB} = \sin A = \sin 30°$, а с другой стороны
$\dfrac{BC}{AB} = \cos B = \cos 60°$. Значит $\sin 30° = \cos 60° = \dfrac{1}{2}$.
3
Из основного тождества: $\cos 30° = \sqrt{1 - \sin^2 30°} = \sqrt{1 - \tfrac{1}{4}} =
\dfrac{\sqrt3}{2}$, и аналогично $\sin 60° = \sqrt{1-\cos^2 60°} = \dfrac{\sqrt3}{2}$.
4
По формуле $\tan A = \dfrac{\sin A}{\cos A}$: $\tan 30° = \dfrac{1/2}{\sqrt3/2} =
\dfrac{\sqrt3}{3}$, $\tan 60° = \dfrac{\sqrt3/2}{1/2} = \sqrt3$.
Угол 45°
Рассмотрим равнобедренный прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$, где $AC = BC$
и $\angle A = \angle B = 45°$.
Вывод значения для 45°
1
По теореме Пифагора $AB^2 = AC^2 + BC^2 = 2AC^2$ (так как $AC = BC$), откуда
$AC = BC = \dfrac{AB}{\sqrt2}$.
В треугольнике $ABC$ с прямым углом $C$: $BC = 8$, $AB = 17$. Найдите синус, косинус и
тангенс углов $A$ и $B$.
★
По теореме Пифагора $AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{17^2-8^2} = \sqrt{225} = 15$.
Тогда $\sin A = \dfrac{BC}{AB} = \dfrac{8}{17}$, $\cos A = \dfrac{AC}{AB} = \dfrac{15}{17}$,
$\tan A = \dfrac{BC}{AC} = \dfrac{8}{15}$.
Так как $\angle B = 90° - \angle A$, катет $AC$ противолежит $B$, а $BC$ прилежит к нему:
$\sin B = \dfrac{AC}{AB} = \dfrac{15}{17} = \cos A$, $\cos B = \dfrac{BC}{AB} = \dfrac{8}{17} = \sin A$,
$\tan B = \dfrac{AC}{BC} = \dfrac{15}{8}$.
⚠️ Частая ошибка: путают, какой катет противолежащий, а какой прилежащий, и
случайно меняют местами $\sin A$ и $\cos A$, либо в тангенсе делят прилежащий катет на
противолежащий вместо наоборот. Правило простое: смотри, какой катет не касается
вершины угла — он противолежащий и стоит в числителе синуса и тангенса.
🧠 Запомни:
$\sin A = \dfrac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}}$,
$\cos A = \dfrac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}}$,
$\tan A = \dfrac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}}$.
$\tan A = \dfrac{\sin A}{\cos A}$.
$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$ для любого острого угла $A$.
Синус, косинус и тангенс зависят только от величины угла, а не от размера треугольника.