Взаимное расположение прямой и окружности
💡 Из жизни: представь колесо, катящееся по прямой дороге. Пока колесо не
доехало до какой-то прямой линии на асфальте (например, до края лужи), эта линия либо совсем
не пересекает окружность колеса, либо колесо коснётся её ровно в одной точке, либо прорежет
насквозь в двух точках — всё зависит от того, насколько близко центр колеса подходит к этой линии.
Пусть дана окружность с центром $O$ радиуса $r$ и прямая $p$. Проведём перпендикуляр $OH$ из
центра $O$ к прямой $p$ и обозначим буквой $d$ длину этого перпендикуляра — расстояние от
центра окружности до прямой. На вкладке
«Прямая и окружность» перетащи прямую $p$ —
расстояние $d$ будет меняться, а окружность останется на месте.
Возможны три случая соотношения $d$ и $r$:
| $d < r$ |
прямая и окружность имеют две общие точки — прямая называется секущей |
| $d = r$ |
прямая и окружность имеют ровно одну общую точку — прямая называется касательной |
| $d > r$ |
прямая и окружность не имеют общих точек |
Почему при $d < r$ общих точек ровно две
Разберём случай $d < r$ подробно — этот же приём (перпендикуляр короче наклонной)
встретится ещё не раз в этом параграфе.
1
Отложим на прямой $p$ от точки $H$ два отрезка $HA$ и $HB$, длины которых равны
$\sqrt{r^2-d^2}$. По теореме Пифагора $OA=\sqrt{OH^2+HA^2}=\sqrt{d^2+(r^2-d^2)}=r$ и
аналогично $OB=r$. Значит, точки $A$ и $B$ лежат на окружности.
2
Докажем, что других общих точек нет. Предположим, что прямая $p$ и окружность имеют
ещё одну общую точку $C$.
3
Медиана $OD$ равнобедренного треугольника $OAC$ (ведь $OA=OC=r$), проведённая к
основанию $AC$, является высотой этого треугольника, поэтому $OD \perp p$. Но отрезки
$OD$ и $OH$ не совпадают, так как середина $D$ отрезка $AC$ не совпадает с точкой
$H$ — серединой отрезка $AB$.
4
Получили, что из точки $O$ проведены два разных перпендикуляра ($OH$ и $OD$) к прямой
$p$ — а это невозможно. Значит, третьей общей точки нет: при $d \lt r$ прямая и окружность
имеют ровно две общие точки. Что и требовалось доказать.
Касательная к окружности
Определение. Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку,
называется касательной к окружности, а их общая точка называется
точкой касания прямой и окружности.
Теорема (свойство касательной). Касательная к окружности перпендикулярна
к радиусу, проведённому в точку касания.
На вкладке «Касательная» потяни точку
$A$ по окружности — прямая $p$ всегда касается окружности только в точке $A$, и маркер
прямого угла в $A$ показывает, что радиус $OA$ и касательная $p$ перпендикулярны при любом
положении точки $A$.
Доказательство свойства касательной
1
Пусть $p$ — касательная к окружности с центром $O$, $A$ — точка касания.
Предположим, что это не так, то есть $p$ не перпендикулярна радиусу $OA$.
2
Тогда радиус $OA$ — наклонная к прямой $p$. Но перпендикуляр, проведённый из точки
$O$ к прямой $p$, короче наклонной $OA$, поэтому расстояние от центра $O$ до прямой $p$
меньше радиуса $r$.
3
Значит, прямая $p$ и окружность имели бы две общие точки. Но это противоречит
условию: $p$ — касательная, у неё только одна общая точка с окружностью. Значит,
предположение неверно, и $p \perp OA$. Теорема доказана.
Отрезки касательных из одной точки
Рассмотрим две касательные к окружности с центром $O$, проходящие через точку $A$ и
касающиеся окружности в точках $B$ и $C$. Отрезки $AB$ и $AC$ называют
отрезками касательных, проведёнными из точки $A$.
Теорема. Отрезки касательных к окружности, проведённые из одной точки,
равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности:
$$AB = AC, \qquad \angle 3 = \angle 4.$$
На вкладке «Отрезки касательных»
потяни точку $A$ — черточки на $AB$ и $AC$ показывают, что отрезки касательных всегда равны,
а одинаковые дуги при вершине $A$ — что углы между касательными и прямой $AO$ тоже равны.
Доказательство равенства отрезков касательных
1
По теореме о свойстве касательной радиусы $OB$ и $OC$ перпендикулярны касательным
в точках $B$ и $C$ (углы $1$ и $2$ на рисунке — прямые), поэтому треугольники
$ABO$ и $ACO$ — прямоугольные.
2
Эти треугольники имеют общую гипотенузу $OA$ и равные катеты $OB = OC = r$.
Значит, треугольники $ABO$ и $ACO$ равны (по гипотенузе и катету).
3
Из равенства треугольников следует $AB = AC$ и $\angle 3 = \angle 4$.
Что и требовалось доказать.
Признак касательной (обратная теорема)
Теорема. Если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности,
и перпендикулярна к этому радиусу, то она является касательной.
Это утверждение — обратное к теореме о свойстве касательной, и именно на нём основано
построение касательной циркулем и линейкой. Снова взгляни на вкладку
«Касательная»: та же картинка — радиус,
перпендикулярный прямой в точке окружности — теперь читается «в обратную сторону».
Доказательство признака касательной
1
Пусть радиус $OA$ перпендикулярен прямой $p$ в точке $A$, лежащей на окружности.
Тогда $OA$ — это перпендикуляр, проведённый из центра $O$ к прямой $p$, значит
расстояние от центра до прямой равно радиусу: $d = r$.
2
Но по уже доказанному ($d = r$ ⟹ ровно одна общая точка) прямая $p$ и окружность
имеют только одну общую точку — точку $A$. А это и означает, что $p$ — касательная.
Теорема доказана.
Задача. Через данную точку $A$ окружности с центром $O$ провести
касательную к этой окружности.
Решение. Проведём прямую $OA$, а затем построим прямую $p$, проходящую
через точку $A$ перпендикулярно к прямой $OA$. По признаку касательной прямая $p$ — искомая
касательная.
Пример
Прямая $AB$ касается окружности с центром $O$ радиуса $r$ в точке $B$. Найдите $AB$,
если $OA = 2$ см, а $r = 1{,}5$ см.
★
Так как $AB$ касается окружности в точке $B$, радиус $OB$ перпендикулярен $AB$
(свойство касательной). Значит, треугольник $OBA$ — прямоугольный с прямым углом при $B$,
и по теореме Пифагора:
$$AB = \sqrt{OA^2 - OB^2} = \sqrt{2^2 - 1{,}5^2} = \sqrt{4 - 2{,}25} = \sqrt{1{,}75} \approx 1{,}32 \text{ см}.$$
⚠️ Частая ошибка: считают прямой угол ($OB \perp AB$) «очевидным» и не
проверяют, что $B$ — именно точка касания, а не произвольная точка на прямой.
Прямой угол между радиусом и прямой гарантирован теоремой только в точке касания —
для любой другой точки прямой $OB$ будет наклонной, а не перпендикуляром, и теорема
Пифагора в таком виде уже не применима.
🧠
Запомни:
- $d \lt r$ — секущая (2 общие точки), $d=r$ — касательная (1 точка), $d \gt r$ — общих точек нет.
- Касательная всегда перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания.
- Если радиус перпендикулярен прямой в точке окружности — прямая касательная (обратная теорема).
- Отрезки касательных из одной точки равны и составляют равные углы с прямой к центру.