Градусная мера дуги окружности
Отметим на окружности две точки $A$ и $B$. Они делят окружность на две дуги. Если отрезок,
соединяющий концы дуги, — диаметр окружности, дугу называют полуокружностью.
Определение. Угол с вершиной в центре окружности называется её
центральным углом.
💡 Из жизни: представь циферблат часов. Стрелки, выходящие из центра, образуют
центральный угол — а дуга циферблата между двумя метками часов «отмеряется» именно этим углом.
Чем шире раствор стрелок, тем длиннее дуга между ними.
Стороны центрального угла $AOB$ пересекают окружность в точках $A$ и $B$, и этому углу
соответствуют сразу две дуги с концами $A$ и $B$. Если $\angle AOB$
неразвёрнутый, то дугу, лежащую внутри этого угла, называют меньше полуокружности,
а вторую дугу — больше полуокружности.
Градусная мера дуги. Если дуга $AB$ меньше полуокружности или равна ей, то её
градусная мера считается равной градусной мере центрального угла $AOB$. Если же дуга $AB$
больше полуокружности, то её градусная мера равна $360° - \angle AOB$.
Отсюда следует важный факт: сумма градусных мер двух дуг окружности с общими концами
равна $360°$. На вкладке «Центральный угол» потяни точки $A$ и $B$ по окружности — увидишь, как обе дуги и центральный угол
меняются одновременно, а их сумма всегда остаётся $360°$.
Теорема о вписанном угле
Определение. Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны
пересекают окружность, называется вписанным углом. Говорят, что вписанный
угол $ABC$ опирается на дугу $AC$, расположенную внутри этого угла (то есть
на дугу, не содержащую точку $B$).
Теорема. Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается:
$$\angle ABC = \frac{1}{2}\,\smile\!AC.$$
На вкладке «Вписанный угол» потяни
точки $A$, $C$ и вершину $B$ по окружности — значение $\angle ABC$ всегда пересчитывается
как ровно половина дуги $AC$, на которую он опирается.
Доказательство теоремы о вписанном угле
Пусть $\angle ABC$ — вписанный угол окружности с центром $O$,
опирающийся на дугу $AC$. Рассмотрим три случая расположения луча $BO$ относительно угла
$ABC$.
1
Случай 1. Луч $BO$ совпадает с одной из сторон угла $ABC$,
например со стороной $BC$. Тогда дуга $AC$ меньше полуокружности, поэтому
$\angle AOC = \smile\!AC$.
2
Угол $AOC$ — внешний угол равнобедренного треугольника $ABO$ (ведь $OA=OB=r$).
Углы $1$ и $2$ при основании этого треугольника равны, поэтому
$\angle AOC = \angle 1 + \angle 2 = 2\angle 1$.
3
Из $2\angle 1 = \smile\!AC$ следует $\angle ABC = \angle 1 = \dfrac{1}{2}\smile\!AC$.
Случай 1 доказан.
4
Случай 2. Луч $BO$ делит угол $ABC$ на два угла и пересекает дугу
$AC$ в некоторой точке $D$, разбивающей её на дуги $AD$ и $DC$. По доказанному в
случае 1 $\angle ABD = \tfrac12\smile\!AD$ и $\angle DBC = \tfrac12\smile\!DC$.
5
Складывая эти равенства: $\angle ABD + \angle DBC = \tfrac12(\smile\!AD + \smile\!DC)$,
то есть $\angle ABC = \tfrac12\smile\!AC$. Случай 3 (луч $BO$ вне угла
$ABC$) доказывается аналогично. Теорема доказана.
Следствия из теоремы о вписанном угле
Следствие 1. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
Это прямо следует из формулы $\angle ABC = \tfrac12\smile\!AC$: значение угла зависит только
от дуги $AC$, а не от того, где именно на окружности стоит вершина $B$. На вкладке
«Вписанный угол» потяни саму точку $B$ вдоль
её дуги, не трогая $A$ и $C$, — величина $\angle ABC$ не изменится, пока вершина остаётся на
той же дуге.
Следствие 2. Вписанный угол, опирающийся на полуокружность, — прямой.
Действительно, если $AC$ — диаметр, то дуга $AC$ (без точки $B$) равна $180°$, а тогда
$\angle ABC = \tfrac12\cdot180° = 90°$. Кнопка
«Сделать $AC$ диаметром» на вкладке
мгновенно превращает $AC$ в диаметр — и появляется маркер прямого угла при $B$.
Теорема о произведении отрезков пересекающихся хорд
Теорема. Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков
одной хорды равно произведению отрезков другой хорды:
$$AE \cdot BE = CE \cdot DE.$$
Пусть хорды $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $E$. На вкладке
«Хорды» потяни любую из точек $A$, $B$,
$C$, $D$ по окружности — живые значения $AE\cdot BE$ и $CE\cdot DE$ будут пересчитываться и
всегда совпадать, пока хорды пересекаются внутри окружности.
Доказательство теоремы о хордах
1
Рассмотрим треугольники $ADE$ и $CBE$, образованные при пересечении хорд $AB$ и $CD$
в точке $E$.
2
Угол $1$ ($\angle DAE = \angle DAB$) и угол $2$ ($\angle BCE = \angle BCD$) — вписанные
углы, опирающиеся на одну и ту же дугу $BD$, поэтому по следствию 1 $\angle 1 = \angle 2$.
3
Угол $3$ ($\angle AED$) и угол $4$ ($\angle CEB$) равны как вертикальные.
4
По первому признаку подобия треугольников (по двум углам) $\triangle ADE \sim \triangle CBE$.
Значит, $\dfrac{AE}{CE} = \dfrac{DE}{BE}$.
5
Из пропорции следует $AE \cdot BE = CE \cdot DE$. Что и требовалось доказать.
Пример
Центральный угол $AOB$ на $30°$ больше вписанного угла, опирающегося на дугу $AB$. Найдите
каждый из этих углов.
★
Пусть вписанный угол, опирающийся на дугу $AB$, равен $x$. Тогда по теореме о вписанном
угле дуга $AB$ равна $2x$. Так как эта дуга меньше полуокружности, центральный угол
$AOB = \smile\!AB = 2x$.
По условию $\angle AOB$ на $30°$ больше вписанного угла:
$$2x = x + 30° \;\Rightarrow\; x = 30°.$$
Значит, вписанный угол равен $30°$, а центральный угол $AOB = 2\cdot30° = 60°$.
⚠️ Частая ошибка: для вписанного угла берут саму дугу, на которую он
опирается, забывая разделить её пополам — то есть путают $\angle ABC = \smile\!AC$ вместо
верного $\angle ABC = \tfrac12\smile\!AC$. Также иногда путают, какая именно из двух дуг с
концами $A$ и $C$ лежит «внутри» угла — используется всегда та дуга, что не содержит саму
вершину $B$.
🧠
Запомни:
- Дуга $\le$ полуокружности $\Rightarrow$ её мера $=\angle AOB$; дуга $>$ полуокружности $\Rightarrow$ её мера $=360°-\angle AOB$.
- Сумма градусных мер двух дуг с общими концами всегда равна $360°$.
- Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается: $\angle ABC = \tfrac12\smile\!AC$.
- Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны; вписанный угол на полуокружность — прямой.
- Для пересекающихся хорд $AB$ и $CD$: $AE\cdot BE = CE\cdot DE$.