Теорема. Каждая точка биссектрисы неразвёрнутого угла равноудалена от его
сторон. Обратно: каждая точка, лежащая внутри угла и равноудалённая от его сторон, лежит на
его биссектрисе.
💡 Из жизни: представь раскрытую книгу, стоящую корешком вверх — линия сгиба
посередине одинаково удалена от обеих обложек в любой точке. Биссектриса угла работает точно
так же: где бы ты ни встал на ней, расстояния (по перпендикуляру!) до обеих сторон угла будут
равны.
На вкладке «Биссектриса» справа потяни точку
$M$ вдоль биссектрисы угла $BAC$ — перпендикуляры $MK$ и $ML$ к сторонам угла всегда остаются
равными, где бы ни находилась $M$.
Доказательство теоремы о биссектрисе угла
1
Прямое утверждение. Возьмём произвольную точку $M$ на биссектрисе
угла $BAC$, проведём перпендикуляры $MK$ и $ML$ к прямым $AB$ и $AC$. Докажем, что
$MK = ML$.
2
Рассмотрим прямоугольные треугольники $AMK$ и $AML$. У них общая гипотенуза $AM$, и
$\angle 1 = \angle 2$ (по условию $AM$ — биссектриса). Значит, треугольники равны по
гипотенузе и острому углу, откуда $MK = ML$.
3
Обратное утверждение. Пусть точка $M$ лежит внутри угла $BAC$ и
равноудалена от его сторон ($MK = ML$). Докажем, что луч $AM$ — биссектриса.
4
Прямоугольные треугольники $AMK$ и $AML$ равны по гипотенузе и катету ($AM$ — общая
гипотенуза, $MK = ML$ по условию). Значит, $\angle 1 = \angle 2$, то есть луч $AM$
делит угол $BAC$ пополам. Теорема доказана.
Следствие 1. Геометрическим местом точек плоскости, лежащих внутри
неразвёрнутого угла и равноудалённых от его сторон, является биссектриса этого угла.
Следствие 2. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.
Обозначим точку пересечения биссектрис $AA_1$ и $BB_1$ треугольника $ABC$ буквой $O$ и
проведём из неё перпендикуляры $OK$, $OL$, $OM$ к сторонам $AB$, $BC$, $CA$. По доказанной
теореме $OK = OM$ (точка $O$ на биссектрисе угла $A$) и $OK = OL$ (точка $O$ на биссектрисе
угла $B$). Значит, $OM = OL$ — точка $O$ равноудалена от сторон угла $C$ и потому лежит на
его биссектрисе $CC_1$. Все три биссектрисы проходят через одну точку $O$. На вкладке
«Треугольник: биссектрисы» потяни
вершины треугольника — все три биссектрисы всегда пересекаются в одной точке.
75. Свойство серединного перпендикуляра к отрезку
Определение.Серединным перпендикуляром к отрезку называется
прямая, проходящая через середину отрезка и перпендикулярная к нему.
Теорема. Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от
концов этого отрезка. Обратно: каждая точка, равноудалённая от концов отрезка, лежит на
серединном перпендикуляре к нему.
💡 Из жизни: представь двух друзей, стоящих в разных точках двора, и место
встречи, которое должно быть одинаково удобным для обоих — на равном расстоянии от каждого.
Все такие «справедливые» точки как раз и образуют серединный перпендикуляр к отрезку между
друзьями.
На вкладке «Серединный перпендикуляр» справа
потяни точку $M$ вдоль прямой $m$ — расстояния $AM$ и $BM$ до концов отрезка $AB$ всегда
остаются равными.
Доказательство теоремы о серединном перпендикуляре
1
Прямое утверждение. Пусть прямая $m$ — серединный перпендикуляр к
отрезку $AB$, точка $O$ — его середина. Возьмём произвольную точку $M$ прямой $m$ и
докажем, что $AM = BM$.
2
Если $M$ совпадает с $O$ — равенство очевидно. Если нет — прямоугольные треугольники
$OAM$ и $OBM$ равны по двум катетам ($OA = OB$, $OM$ — общий катет), значит $AM = BM$.
3
Обратное утверждение. Пусть точка $N$ равноудалена от концов
отрезка $AB$ ($AN = BN$). Докажем, что $N$ лежит на прямой $m$.
4
Если $N$ на прямой $AB$ — она совпадает с серединой $O$ и лежит на $m$. Если нет —
треугольник $ANB$ равнобедренный ($AN = BN$), а отрезок $NO$ — его медиана, значит и
высота: $NO \perp AB$. Поэтому прямая $ON$ совпадает с $m$. Теорема доказана.
Следствие 1. Геометрическим местом точек плоскости, равноудалённых от концов
отрезка, является серединный перпендикуляр к этому отрезку.
Следствие 2. Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются
в одной точке.
Рассмотрим серединные перпендикуляры $m$ и $n$ к сторонам $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$. Они
пересекаются в некоторой точке $O$ (иначе, если бы $m \parallel n$, прямая $BA$, будучи
перпендикулярной к $m$, была бы перпендикулярна и параллельной ей прямой $n$ — а тогда через
точку $B$ проходили бы две разные прямые, перпендикулярные $n$, что невозможно). По теореме
$OB = OA$ и $OB = OC$, значит $OA = OC$ — точка $O$ равноудалена от концов отрезка $AC$ и
потому лежит на серединном перпендикуляре $p$ к нему. Все три серединных перпендикуляра
пересекаются в одной точке. На вкладке
«Треугольник: перпендикуляры» потяни
вершины — убедишься в этом на любой форме треугольника.
76. Теорема о пересечении высот треугольника
Мы доказали, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке и серединные
перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке. Ранее было доказано, что
медианы треугольника тоже пересекаются в одной точке. Оказывается, аналогичным свойством
обладают и высоты треугольника.
Теорема. Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке.
На вкладке «Высоты» справа потяни вершины
треугольника — в остроугольном треугольнике точка пересечения высот лежит внутри, а в
тупоугольном — вне треугольника, на продолжениях высот.
Доказательство теоремы о пересечении высот
1
Рассмотрим произвольный треугольник $ABC$ с высотами (прямыми, содержащими их)
$AA_1$, $BB_1$, $CC_1$. Проведём через каждую вершину прямую, параллельную
противоположной стороне — получим новый треугольник $A_2B_2C_2$.
2
Точки $A$, $B$, $C$ — середины сторон треугольника $A_2B_2C_2$. Действительно,
$AB = A_2C$ и $AB = CB_2$ как противоположные стороны параллелограммов $ABA_2C$ и
$ABCB_2$, поэтому $A_2C = CB_2$ — то есть $C$ середина $A_2B_2$. Аналогично для $A$
и $B$.
3
Из построения $CC_1 \perp A_2B_2$, $AA_1 \perp B_2C_2$, $BB_1 \perp A_2C_2$ — то есть
прямые $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ являются серединными перпендикулярами к сторонам
треугольника $A_2B_2C_2$.
4
А серединные перпендикуляры любого треугольника пересекаются в одной точке (§75).
Значит, прямые $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ тоже пересекаются в одной точке.
Теорема доказана.
Четыре замечательные точки треугольника
Итак, с каждым треугольником связаны четыре особые точки:
точка пересечения медиан — называется центроидом;
точка пересечения биссектрис — центр вписанной окружности;
точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам — центр
описанной окружности;
точка пересечения высот (или их продолжений) — называется
ортоцентром.
Эти четыре точки называются замечательными точками треугольника. На вкладке
«Все точки» справа все четыре точки показаны сразу
на одном треугольнике разными цветами — потяни вершины и понаблюдай, как каждая из них
движется по-своему.
⚠️ Частая ошибка: путают, какая точка от чего равноудалена. Точка пересечения
биссектрис равноудалена от сторон треугольника (это центр
вписанной окружности), а точка пересечения серединных перпендикуляров
равноудалена от вершин (центр описанной окружности) — это принципиально
разные точки, и в общем случае они не совпадают.
🧠 Запомни:
Биссектриса угла — геометрическое место точек, равноудалённых от его сторон.
Серединный перпендикуляр к отрезку — геометрическое место точек, равноудалённых от
концов отрезка.
Все три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке — центре вписанной
окружности.
Все три серединных перпендикуляра к сторонам треугольника пересекаются в одной точке —
центре описанной окружности.
Все три высоты (или их продолжения) пересекаются в одной точке — ортоцентре.
Четыре замечательные точки: центроид (медианы), центр вписанной окружности
(биссектрисы), центр описанной окружности (серединные перпендикуляры), ортоцентр
(высоты).