§4. Вписанная и описанная окружности

77. Вписанная окружность

Определение. Если все стороны многоугольника касаются окружности, то окружность называется вписанной в многоугольник, а многоугольник — описанным около этой окружности.

      💡 Из жизни: представь треугольную рамку и мяч, который надули ровно настолько,
      чтобы он коснулся всех трёх сторон изнутри, но не проткнул ни одну из них — вот это и есть
      вписанная окружность.
    

Теорема. В любой треугольник можно вписать окружность.

На вкладке «Вписанная окружность» справа потяни вершины треугольника $ABC$ — окружность всегда касается всех трёх сторон.

Доказательство теоремы о вписанной окружности

Замечание 1. В треугольник можно вписать только одну окружность. Действительно, центр любой вписанной окружности обязан быть равноудалён от всех трёх сторон, а значит — совпадать с точкой пересечения биссектрис; и радиус тоже определён однозначно как расстояние от неё до сторон.

Замечание 2. Треугольник $ABC$ составлен из трёх треугольников $ABO$, $BCO$, $CAO$, у каждого из которых высотой (опущенной на сторону треугольника $ABC$) служит радиус $r$ вписанной окружности. Поэтому $$S = \frac{1}{2}AB\cdot r + \frac{1}{2}BC\cdot r + \frac{1}{2}CA\cdot r = \frac{AB+BC+CA}{2}\cdot r = p\cdot r,$$ где $p$ — полупериметр треугольника. То есть площадь треугольника равна произведению его полупериметра на радиус вписанной окружности.

Замечание 3. В отличие от треугольника, не во всякий четырёхугольник можно вписать окружность. Но если это возможно, стороны обладают замечательным свойством:

В любом описанном четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны: $AB + CD = BC + AD$. Верно и обратное: если суммы противоположных сторон выпуклого четырёхугольника равны, то в него можно вписать окружность.

На вкладке «Описанный четырёхугольник» потяни точки касания по окружности — стороны меняются, но $AB+CD$ и $BC+AD$ всегда остаются равны.

Почему суммы противоположных сторон равны

78. Описанная окружность

Определение. Если все вершины многоугольника лежат на окружности, то окружность называется описанной около многоугольника, а многоугольник — вписанным в эту окружность.

      💡 Из жизни: представь три гвоздика, вбитых в доску (вершины треугольника), и
      верёвочную петлю-окружность, которую натягивают так, чтобы она прошла ровно через все три
      гвоздика — это и есть описанная окружность.
    

Теорема. Около любого треугольника можно описать окружность.

На вкладке «Описанная окружность» справа потяни вершины треугольника $ABC$ — окружность всегда проходит через все три вершины.

Доказательство теоремы об описанной окружности

Замечание 1. Около треугольника можно описать только одну окружность — центр любой описанной окружности обязан совпадать с точкой пересечения серединных перпендикуляров, а радиус определён однозначно как расстояние от неё до вершин.

Замечание 2. В отличие от треугольника, не около всякого четырёхугольника можно описать окружность (например, нельзя — около ромба, не являющегося квадратом). Но если это возможно, углы обладают замечательным свойством:

В любом вписанном четырёхугольнике сумма противоположных углов равна $180°$: $\angle A + \angle C = 180°$, $\angle B + \angle D = 180°$. Верно и обратное: если сумма противоположных углов четырёхугольника равна $180°$, то около него можно описать окружность.

На вкладке «Вписанный четырёхугольник» потяни точки по окружности — углы $A$, $B$, $C$, $D$ меняются, но сумма $\angle A + \angle C$ всегда равна $180°$.

Почему сумма противоположных углов равна 180°

⚠️ Частая ошибка: путают «вписанную» и «описанную» окружность (или многоугольник). Если окружность внутри и касается сторон — она вписана, а многоугольник вокруг неё — описан. Если окружность снаружи и проходит через вершины — она описана около многоугольника, а многоугольник — вписан в неё. Ещё одна ошибка — думать, что в любой четырёхугольник можно вписать или около любого описать окружность: для треугольника это верно всегда, а для четырёхугольника — только при выполнении специального условия на стороны или углы.

🧠 Запомни:

Вписанная окружность касается всех сторон многоугольника; многоугольник вокруг неё — описанный.
Описанная окружность проходит через все вершины многоугольника; многоугольник внутри неё — вписанный.
В любой треугольник можно вписать окружность, и около любого треугольника можно описать окружность — причём ровно одну в каждом случае.
$S = p\cdot r$ — площадь треугольника равна полупериметру, умноженному на радиус вписанной окружности.
Описанный четырёхугольник: $AB+CD = BC+AD$ (суммы противоположных сторон равны).
Вписанный четырёхугольник: $\angle A+\angle C = \angle B+\angle D = 180°$ (суммы противоположных углов равны).